Resolva as seguintes EDOs.
(x+1) y^{\prime}=x+6
(Sol. \quad y=x+5 \ln |x+1|+c )

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(x+1)\,\frac{dy}{dx}=x+6
que é uma equação de primeira ordem em que, após isolarmos \frac{dy}{dx}, o lado direito fica função de x apenas. Para resolver, basta escrever \frac{dy}{dx} em termos de x e integrar em x.

Passo 2

Isolando a derivada, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x+6}{x+1}.

Passo 3

Para integrar, primeiro simplificamos o quociente:
\frac{x+6}{x+1} =\frac{(x+1)+5}{x+1} =1+\frac{5}{x+1}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y=\int\!\frac{dy}{dx}\,dx =\int\Bigl(1+\frac{5}{x+1}\Bigr)\,dx =\int 1\,dx+5\!\int\frac{1}{x+1}\,dx.
As integrais são imediatas:
\int 1\,dx = x, \qquad \int\frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.
Logo
y = x + 5\,\ln\bigl|x+1\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y = x + 5 \ln\bigl|x+1\bigr| + C.

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