Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}(t)+2 y(t)=t e^{-2 t}, y(1)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede a solução e o comportamento quando t\to\infty. Informações do problema:
  • Equação diferencial: y^{\prime}(t)+2\,y(t)=t\,e^{-2t}.
  • Condição inicial: y(1)=0.
  • O que se pede: (i) encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial; (ii) verificar o comportamento de y(t) quando t\rightarrow\infty.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
onde aqui p(t)=2 e q(t)=t\,e^{-2t}. Há uma técnica padrão chamada fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) escolhida para transformar o lado esquerdo em uma derivada total:
\mu(t)\,y'(t)+\mu(t)\,p(t)\,y(t)=\big(\mu(t)\,y(t)\big)'.
Para isso escolhe-se \mu(t) satisfazendo \mu'(t)=p(t)\,\mu(t), cuja solução geral é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Aqui vou aplicar essa receita calmamente: cada símbolo significa— y(t) é a solução que queremos, p(t) é o coeficiente de y e q(t) é o termo independente.

Passo 3

Calcular o fator integrante e multiplicar a equação:
  • Como p(t)=2, tem-se
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
  • Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{2t} obtemos
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t)=e^{2t}\big(t e^{-2t}\big).
  • Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y(t). O lado direito simplifica porque e^{2t}\cdot t e^{-2t}=t. Assim ficamos com
\big(e^{2t}y(t)\big)'=t.

Passo 4

Integrar para achar y(t):
  • Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \big(e^{2t}y(t)\big)' \,dt = \int t\,dt.
  • A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2t}y(t). A integral do lado direito é t^2/2 + C, com C constante arbitrária. Logo
e^{2t}y(t)=\frac{t^2}{2}+C.
  • Isolando y(t),
y(t)=e^{-2t}\left(\frac{t^2}{2}+C\right).

Passo 5

Aplicar a condição inicial para determinar C:
  • A condição é y(1)=0. Substituindo t=1,
0 = y(1) = e^{-2}\left(\frac{1^2}{2}+C\right)=e^{-2}\left(\frac{1}{2}+C\right).
  • Como e^{-2}\neq 0, obtemos \dfrac{1}{2}+C=0, ou seja C=-\dfrac{1}{2}.
  • Assim a solução particular é
y(t)=e^{-2t}\left(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}e^{-2t}\big(t^2-1\big).

Passo 6

Verificação direta (substituir a solução na equação para confirmar):
  • Vou diferenciar y(t)=\dfrac{1}{2}e^{-2t}(t^2-1). Definindo f(t)=\dfrac{t^2-1}{2}, tem-se y(t)=f(t)e^{-2t}.
  • Então f'(t)=t e, pela regra do produto,
y'(t)=f'(t)e^{-2t}+f(t)\cdot(-2)e^{-2t}=e^{-2t}\big(t-2f(t)\big).
  • Substituindo f(t)=\dfrac{t^2-1}{2}
y'(t)=e^{-2t}\big(t-(t^2-1)\big)=e^{-2t}(-t^2+t+1).
  • Agora calcule y'(t)+2y(t):
y'(t)+2y(t)=e^{-2t}(-t^2+t+1)+2\cdot\frac{1}{2}e^{-2t}(t^2-1)=e^{-2t}t,
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está verificada.

Passo 7

Comportamento quando t\rightarrow\infty:
  • A solução encontrada é y(t)=\dfrac{1}{2}e^{-2t}(t^2-1). Para analisar o limite é útil notar que o fator exponencial e^{-2t} decai muito mais rápido que qualquer polinômio cresce. Assim o produto de um polinômio (aqui t^2-1) por e^{-2t} tende a zero.
  • Uma maneira rigorosa é observar a forma y(t)=\dfrac{1}{2}\dfrac{t^2-1}{e^{2t}} e aplicar a regra de L’Hôpital duas vezes se necessário; isso leva a zero. Portanto
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{2}e^{-2t}\big(t^2-1\big)\n
\displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=0

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