Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial e pede a solução e o comportamento quando
. Informações do problema:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - O que se pede: (i) encontrar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial; (ii) verificar o comportamento de quando .
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
onde aqui
e
. Há uma técnica padrão chamada fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
escolhida para transformar o lado esquerdo em uma derivada total:
Para isso escolhe-se
satisfazendo
, cuja solução geral é
Aqui vou aplicar essa receita calmamente: cada símbolo significa—
é a solução que queremos,
é o coeficiente de
e
é o termo independente.
Passo 3
Calcular o fator integrante e multiplicar a equação:
- Como
, tem-se
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. O lado direito simplifica porque . Assim ficamos com
Passo 4
Integrar para achar
:
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é , com constante arbitrária. Logo
- Isolando
,
Passo 5
Aplicar a condição inicial para determinar
:
- A condição é
. Substituindo ,
- Como
, obtemos , ou seja . - Assim a solução particular é
Passo 6
Verificação direta (substituir a solução na equação para confirmar):
- Vou diferenciar
. Definindo , tem-se . - Então
e, pela regra do produto,
- Substituindo
dá
- Agora calcule
:
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está verificada.
Passo 7
Comportamento quando
:
- A solução encontrada é
. Para analisar o limite é útil notar que o fator exponencial decai muito mais rápido que qualquer polinômio cresce. Assim o produto de um polinômio (aqui ) por tende a zero. - Uma maneira rigorosa é observar a forma
e aplicar a regra de L’Hôpital duas vezes se necessário; isso leva a zero. Portanto