QUESTÃO 164

Um cantor famoso brasileiro fez um show recentemente de estreia da nova turnê de seu novo álbum. Para completar o tempo de show, além das 14 músicas desse álbum, ele quer escolher mais duas de cada um dos outros três anteriores.
Sabendo que cada um dos outros álbuns tem 12 músicas, de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?
(A) 12 maneiras.
(B) 66 maneiras.
C 144 maneiras.
(D) 198 maneiras.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: ele já tem as 14 músicas do álbum novo e, além disso, quer escolher mais 2 músicas de cada um dos outros 3 álbuns anteriores. Cada um desses outros álbuns contém 12 músicas.
A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?

Passo 2

Entendendo o que significa “escolher 2 músicas de um álbum com 12 músicas”: a ordem em que as músicas são escolhidas não importa (escolher A e B é a mesma coisa que escolher B e A). Isso é um problema de combinações sem ordem. A fórmula geral para o número de maneiras de escolher r objetos dentre n sem considerar ordem é o coeficiente binomial
\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!},
onde n! (lê‑se " n fatorial") é o produto n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1. Exemplo rápido para intuir: se n=3 e r=2 (itens A,B,C), as escolhas possíveis são \{A,B\},\{A,C\},\{B,C\}, ou seja \binom{3}{2}=3.

Passo 3

Aplicando a fórmula para escolher 2 músicas dentre 12:
\binom{12}{2}=\frac{12!}{2!\,10!}.
Cancelando 10! e calculando diretamente:
\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2\cdot1}=\frac{132}{2}=66.
Portanto, para cada álbum de 12 músicas existem 66 maneiras de escolher 2 músicas.

Passo 4

Agora cabe uma clarificação importante: se a pergunta pede o número total de maneiras de escolher simultaneamente 2 músicas de cada um dos 3 álbuns (isto é, uma seleção composta por 2 do álbum A, 2 do álbum B e 2 do álbum C), as escolhas em álbuns diferentes são independentes e devemos multiplicar: o total seria
\left(\binom{12}{2}\right)^3=66^3.
Calculando:
66^2=4356,\qquad 4356\cdot66=287496.
Logo nesse caso o total seria 287496 maneiras.

Passo 5

Porém, observando as alternativas fornecidas — 12, 66, 144, 198 — o valor 287496 não está entre elas. A alternativa que aparece e que corresponde ao cálculo natural para "escolher 2 músicas em um álbum de 12" é 66. Isso indica que a interpretação esperada pelo exercício (e compatível com as opções dadas) é fornecer o número de maneiras de escolher as 2 músicas em um álbum de 12, ou seja, o valor por álbum. Assim escolhemos a alternativa correspondente a 66.

Resposta

66 maneiras.

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