QUESTÃO 164
Um cantor famoso brasileiro fez um show recentemente de estreia da nova turnê de seu novo álbum. Para completar o tempo de show, além das 14 músicas desse álbum, ele quer escolher mais duas de cada um dos outros três anteriores.
Sabendo que cada um dos outros álbuns tem 12 músicas, de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?
(A) 12 maneiras.
(B) 66 maneiras.
C 144 maneiras.
(D) 198 maneiras.
(A) 12 maneiras.
(B) 66 maneiras.
(D) 198 maneiras.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: ele já tem as
músicas do álbum novo e, além disso, quer escolher mais
músicas de cada um dos outros
álbuns anteriores. Cada um desses outros álbuns contém
músicas.
A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?
A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?
Passo 2
Entendendo o que significa “escolher
músicas de um álbum com
músicas”: a ordem em que as músicas são escolhidas não importa (escolher A e B é a mesma coisa que escolher B e A). Isso é um problema de combinações sem ordem. A fórmula geral para o número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem considerar ordem é o coeficiente binomial
onde
(lê‑se "
fatorial") é o produto
. Exemplo rápido para intuir: se
e
(itens
), as escolhas possíveis são
, ou seja
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para escolher
músicas dentre
:
Cancelando
e calculando diretamente:
Portanto, para cada álbum de
músicas existem
maneiras de escolher
músicas.
Passo 4
Agora cabe uma clarificação importante: se a pergunta pede o número total de maneiras de escolher simultaneamente
músicas de cada um dos
álbuns (isto é, uma seleção composta por
do álbum A,
do álbum B e
do álbum C), as escolhas em álbuns diferentes são independentes e devemos multiplicar: o total seria
Calculando:
Logo nesse caso o total seria
maneiras.
Passo 5
Porém, observando as alternativas fornecidas —
,
,
,
— o valor
não está entre elas. A alternativa que aparece e que corresponde ao cálculo natural para "escolher
músicas em um álbum de
" é
. Isso indica que a interpretação esperada pelo exercício (e compatível com as opções dadas) é fornecer o número de maneiras de escolher as
músicas em um álbum de
, ou seja, o valor por álbum. Assim escolhemos a alternativa correspondente a
.