1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=2(1+x)^2 ( Dica: f(x)=-2 dd x(11+x))

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=2(1+x)^2
em torno de x=0 e o respectivo raio de convergência. Vamos usar a dica de derivar a série de 11+x.

Passo 2

Recall que, para lvert xrvert<1, vale a série geométrica alternada
11+x=sumn=0^infty(-1)^nx^n

Passo 3

Diferenciando termo a termo, obtemos
ddxl(tfrac11+xr) =sumn=1^inftyn(-1)^nx^n-1
Como a dica diz que
f(x)=-2,ddxl(tfrac11+xr),
segue-se
f(x)=-2sumn=1^inftyn(-1)^nx^n-1

Passo 4

Para colocar em sum amx^m, faça m=n-1, daí n=m+1 e
(-1)^n=(-1)^m+1=-(-1)^m. Assim,
f(x) =-2summ=0^infty(m+1)(-1)^m+1x^m =2summ=0^infty(m+1)(-1)^mx^m

Passo 5

O raio de convergência é o mesmo da série geométrica original, ou seja
R=1

Resposta

f(x)=2sumn=0^infty(-1)^n(n+1)x^n, R=1

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