Resolva as seguintes integrais indefinidas pelo método das frações parciais:
(1,0) integral x^4+2 x+1x^3-x^2-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional
x^4+2x+1x^3-x^2-2x
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos primeiro fazer divisão de polinômios e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Dividindo x^4+2x+1 por x^3-x^2-2x, obtemos quociente x+1 e resto 3x^2+4x+1. Logo
x^4+2x+1x^3-x^2-2x = x + 1 + 3x^2+4x+1x(x-2)(x+1)

Passo 3

Para a parte própria fazemos
3x^2+4x+1x(x-2)(x+1) = Ax + Bx-2 + Cx+1
Isto implica
A(x-2)(x+1)+B,x(x+1)+C,x(x-2)=3x^2+4x+1
Igualando coeficientes, surge o sistema
A + B + C = 3, -,A + B - 2,C = 4, -,2,A = 1
Da última equação A = -tfrac12. Substituindo nas duas primeiras: B = tfrac72 e C=0.

Passo 4

Fica então
integralx^4+2x+1x^3-x^2-2x,dx =integrall(x+1 -tfrac121x + tfrac721x-2r)dx
Integramos termo a termo:
integral x,dx = tfrac12x^2, integral 1,dx = x, integral dxx = lnlvert xrvert, integral dxx-2 = lnlvert x-2rvert

Resposta

12x^2 ;+; x ;-; 12lnlvert xrvert ;+; 72lnlvert x-2rvert + C

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