Resolva as seguintes EDOs
y ln (y) d x+[x-ln (y)] d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que a gente recebeu:
y ln(y) , dx + [x - ln(y)] , dy = 0
Aqui, a matéria envolve equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar aplicar técnicas de equações exatas e encontrar um fator integrante que facilite a solução. Vamos passo a passo entender e resolver essa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação:
Temos:
M(x, y) = y ln(y)
N(x, y) = x - ln(y)
E a equação é da forma:
M , dx + N , dy = 0
Para resolver, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y [y ln(y)]
Usando a regra do produto:
partial Mpartial y = ln(y) + y cdot 1y = ln(y) + 1
Agora, a derivada de $ N $ em relação a $ x $:
N
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \ln(y) + 1 $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a EDO e a torne exata. Geralmente, tentamos com fatores que dependem apenas de $ x $ ou apenas de $ y $.
Vamos supor que o fator integrante $ \mu(y) $ dependa apenas de $ y $. Então, a equação multiplicada por $ \mu(y) $ será:
x
Para que essa nova equação seja exata, deve-se cumprir:
y

Passo 5

Calculando as derivadas:
Lado esquerdo:
ddy [mu(y) y ln(y)] = mu'(y) y ln(y) + mu(y) ln(y) + mu(y) y cdot 1y
Simplificando:
mu'(y) y ln(y) + mu(y) ln(y) + mu(y)
Lado direito:
ddx [mu(y) (x - ln(y))] = mu(y) cdot 1 = mu(y)
Igualando os dois lados:
mu'(y) y ln(y) + mu(y) ln(y) + mu(y) = mu(y)
Subtraindo $ \mu(y) $ de ambos os lados:
mu(y)

Passo 6

Fatorando $ \mu(y) $:
mu(y)
Como $ \ln(y) $ não é zero, temos:
mu'(y) y ln(y) + mu(y) ln(y) = ln(y) [mu'(y) y + mu(y)] = 0
Essa é uma equação diferencial para $ \mu(y) $. Vamos resolvê-la.

Passo 7

A equação:
mu'(y) y + mu(y) = 0
divide ambos os lados por $ y $:
y
Essa é uma equação linear de primeira ordem para $ \mu(y) $.
A solução geral de uma equação linear $ \mu’ + P(y)\mu = 0 $ é:
mu'(y) + mu(y)y = 0
Aqui, $ P(y) = \frac{1}{y} $, então:
mu(y)
Podemos escolher $ C = 1 $, então:
mu' + P(y)mu = 0

Passo 8

Agora, multiplicamos a equação original por $ \mu(y) = \frac{1}{y} $:
mu(y) = 1y
Simplificando:
1y cdot y ln(y) , dx + 1y cdot [x - ln(y)] , dy = 0
Essa nova equação é exata, então podemos escrever uma função $ F(x, y) $ tal que:
ln(y) , dx + ( xy - ln(y)y ) , dy = 0
Integrando em relação a $ x $:
F(x, y)
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $.

Passo 9

Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x}{y} - \frac{\ln(y)}{y} $:
F(x, y)
Igualando:
y
Portanto:
partial Fpartial y = xy - ln(y)y

Passo 10

Integrando $ h’(y) $:
h'(y)
Fazendo a substituição $ u = \ln(y) $, $ du = \frac{1}{y} dy $:
h(y) = -integral ln(y)y , dy

Passo 11

Agora, escrevemos a função $ F(x, y) $:
F(x, y)
Como a solução geral de uma EDO exata é $ F(x, y) = constante $, temos:
F(x, y) = x ln(y) - (ln(y))^22 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x ln(y) - (ln(y))^22 = C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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