Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que a gente recebeu:
Aqui, a matéria envolve equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar aplicar técnicas de equações exatas e encontrar um fator integrante que facilite a solução. Vamos passo a passo entender e resolver essa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação:
Temos:
E a equação é da forma:
Para resolver, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada de $ N $ em relação a $ x $:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \ln(y) + 1 $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a EDO e a torne exata. Geralmente, tentamos com fatores que dependem apenas de $ x $ ou apenas de $ y $.
Vamos supor que o fator integrante $ \mu(y) $ dependa apenas de $ y $. Então, a equação multiplicada por $ \mu(y) $ será:
Para que essa nova equação seja exata, deve-se cumprir:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Lado esquerdo:
Simplificando:
Lado direito:
Igualando os dois lados:
Subtraindo $ \mu(y) $ de ambos os lados:
Passo 6
Fatorando $ \mu(y) $:
Como $ \ln(y) $ não é zero, temos:
Essa é uma equação diferencial para $ \mu(y) $. Vamos resolvê-la.
Passo 7
A equação:
divide ambos os lados por $ y $:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para $ \mu(y) $.
A solução geral de uma equação linear $ \mu’ + P(y)\mu = 0 $ é:
Aqui, $ P(y) = \frac{1}{y} $, então:
Podemos escolher $ C = 1 $, então:
Passo 8
Agora, multiplicamos a equação original por $ \mu(y) = \frac{1}{y} $:
Simplificando:
Essa nova equação é exata, então podemos escrever uma função $ F(x, y) $ tal que:
Integrando em relação a $ x $:
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $.
Passo 9
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x}{y} - \frac{\ln(y)}{y} $:
Igualando:
Portanto:
Passo 10
Integrando $ h’(y) $:
Fazendo a substituição $ u = \ln(y) $, $ du = \frac{1}{y} dy $:
Passo 11
Agora, escrevemos a função $ F(x, y) $:
Como a solução geral de uma EDO exata é $ F(x, y) = constante $, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.