Resolva as seguintes EDOs de primeira ordem:
y^prime=x^2y(1+x^3)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y'=x^2y(1+x^3)
e pede a solução geral. O conteúdo é separação de variáveis: vamos escrever a equação de modo que todos os y fiquem de um lado e todos os x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y,dx:
y,dy=x^21+x^3,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral y,dy = integral x^21+x^3,dx
No lado esquerdo
integral y,dy = y^22
No lado direito usamos a substituição u=1+x^3, então du=3x^2dx e x^2dx=du/3, ficando
integral x^21+x^3,dx =integral 1u,du3 =13lnl|ur| =13lnl|1+x^3r|
Logo após a integração temos
y^22=13lnl|1+x^3r|+C

Passo 4

Para isolar y multiplicamos por 2 e reunimos constantes num único C1=2C:
y^2=23lnl|1+x^3r|+C1
Assim, a forma explícita da solução geral é
y=pmraiz23lnl|1+x^3r|+C1

Resposta

y^2=23lnl|1+x^3r|+C1, y=pmraiz23lnl|1+x^3r|+C1

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