Em cada item a seguir, calcule a solução geral:
(mathrmx^2-9) d yd x+mathrmxy=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
l(x^2-9r),dydx + x,y = 0
Aqui o conteúdo é resolução de equações lineares de primeira ordem (ou separáveis, já que é homogênea em y). Vamos identificar um método eficiente para resolver.

Passo 2

Podemos reescrever a equação na forma padrão dividindo por x^2-9, válida para xneq pm3:
dydx + xx^2-9,y = 0
Isso mostra que é uma equação linear homogênea com
P(x)=xx^2-9

Passo 3

Para a forma linear dydx+P(x),y=0, sabemos que
y(x)=Cexpl(-integral P(x),dxr)
Então calculamos
integral P(x),dx = integral xx^2-9,dx
Fazendo a substituição natural u=x^2-9, temos du=2x,dx, logo
integral xx^2-9,dx = 12 integral duu = 12 lnl|ur| + K = 12 lnl|x^2-9r| + K

Passo 4

Substituindo no fator exponencial:
y(x) = C expl(-tfrac12lnl|x^2-9r|r) = C l|x^2-9r|^-tfrac12
Podemos incorporar o sinal absoluto e a constante em uma constante arbitrária C, ficando
y(x)=Craizx^2-9

Resposta

y(x)=Craizx^2-9,
válida para x>3 ou x<-3, sendo C a constante de integração.

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