Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
lx(x-2) y^prime+2 x y=0 y(3)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x(x-2),y' + 2x,y = 0
com a condição inicial y(3)=6. O conteúdo é equação linear de primeira ordem ou tratável como separável. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos a equação por x(x-2) (desde que xneq0,2) para escrevê-la na forma padrão y'+P(x),y=0:
y' + 2xx(x-2),y = 0 Longrightarrow y' + 2x-2,y = 0

Passo 3

Identificamos P(x)=tfrac2x-2. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 2x-2,dxr) = expl(2ln|x-2|r) = (x-2)^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=(x-2)^2, obtendo
(x-2)^2,y' + 2(x-2),y = 0,
que é equivalante a
ddxl[(x-2)^2,yr] = 0
Integrando,
(x-2)^2,y = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolamos y:
y = C(x-2)^2

Passo 6

Usamos a condição inicial y(3)=6:
6 = C(3-2)^2 Longrightarrow C = 6
Logo a solução particular é
y = 6(x-2)^2

Resposta

y(x) = 6(x-2)^2

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