Verifique se existem ou não os limites abaixo. Caso existam, calcule:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}-1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{-(x^{2}+y^{2})}-1}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo usado é limite de funções de duas variáveis e, como a expressão só depende de x^{2}+y^{2}, vamos recorrer a coordenadas polares para transformar em um limite de uma variável só.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Como (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^{+}, a função torna-se radial, isto é, depende apenas de r.

Passo 3

Substituindo na expressão original, obtemos
\frac{e^{-(x^{2}+y^{2})}-1}{x^{2}+y^{2}} = \frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}}.
O problema passa a ser calcular
\lim_{r\to0^{+}} \frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}}.

Passo 4

Para esse limite unidimensional, podemos usar a expansão em série de e^{-r^{2}} em torno de r=0:
e^{-r^{2}} = 1 - r^{2} + O(r^{4}).
Então
e^{-r^{2}} - 1 = -r^{2} + O(r^{4}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}} = -1 + O(r^{2}).
Tomando r\to0, o termo O(r^{2}) some e o limite vale -1.

Resposta

O limite existe e é -1.

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