Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=\frac{1+y^{2}}{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem y'=\frac{1+y^{2}}{x}. O conteúdo é separação de variáveis e vamos precisar reescrever y' como \frac{dy}{dx}, isolar os termos em y de um lado e os termos em x de outro para então integrar.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a derivada,
\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^{2}}{x}.

Passo 3

Separamos as variáveis agrupando y no numerador do lado esquerdo e x no denominador do lado direito:
\frac{dy}{1+y^{2}} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos cada lado. Do lado esquerdo,
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = \arctan(y),
e do lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x|.
Logo,
\arctan(y) = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar y, aplicamos a tangente em ambos os lados:
y = \tan\bigl(\ln|x| + C\bigr).

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = \tan\bigl(\ln|x| + C\bigr).

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