Resolva, para x in R, as seguintes equações:
x^2+5|x-1|+11=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação $ x^{2} + 5|x-1| + 11 = 0 $ para $ x $ real. Aqui, vamos trabalhar com álgebra envolvendo valor absoluto e equações quadráticas. Para resolver isso, precisamos separar a equação em casos baseados no valor absoluto e depois resolver cada caso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto presente na equação, que é $ |x - 1| $. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo, então precisamos considerar dois casos diferentes:
  1. Caso 1: $ x - 1 \geq 0 $ (ou seja, $ x \geq 1 $)
  2. Caso 2: $ x - 1 < 0 $ (ou seja, $ x < 1 $)

Passo 3

Caso 1: $ x \geq 1 $
Aqui, como $ x - 1 $ é positivo ou zero, o valor absoluto $ |x - 1| $ simplesmente é $ x - 1 $. Então, substituímos na equação original:
x >= 1

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação:
x^2 + 5x - 5 + 11 = 0
x^2 + 5x + 6 = 0
Essa é uma equação quadrática padrão da forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
ax^2 + bx + c = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 5 $ e $ c = 6 $.

Passo 5

Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta > 0 $, existem duas soluções reais:
De
Portanto:
De 0

Passo 6

Agora, precisamos verificar se essas soluções satisfazem a condição inicial deste caso ($ x \geq 1 $):
x >= 1
Ambos os valores são menores que 1, então nenhuma das soluções desse caso é válida.

Passo 7

Caso 2: $ x < 1 $
Aqui, $ x - 1 $ é negativo, então o valor absoluto $ |x - 1| $ vira $ 1 - x $. Substituindo na equação:
x < 1

Passo 8

Vamos simplificar essa equação:
x^2 + 5 - 5x + 11 = 0
x^2 - 5x + 16 = 0
Mais uma vez, temos uma equação quadrática. Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 9

Como $ \Delta < 0 $, não existem soluções reais para essa equação. Isso significa que não há valores de $ x $ que satisfaçam esta equação no segundo caso.

Resposta

Não existe nenhum número real que resolva a equação $ x^{2} + 5|x-1| + 11 = 0 $.

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