Resolva, para
, as seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação $ x^{2} + 5|x-1| + 11 = 0 $ para $ x $ real. Aqui, vamos trabalhar com álgebra envolvendo valor absoluto e equações quadráticas. Para resolver isso, precisamos separar a equação em casos baseados no valor absoluto e depois resolver cada caso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o valor absoluto presente na equação, que é $ |x - 1| $. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo, então precisamos considerar dois casos diferentes:
- Caso 1: $ x - 1 \geq 0 $ (ou seja, $ x \geq 1 $)
- Caso 2: $ x - 1 < 0 $ (ou seja, $ x < 1 $)
Passo 3
Caso 1: $ x \geq 1 $
Aqui, como $ x - 1 $ é positivo ou zero, o valor absoluto $ |x - 1| $ simplesmente é $ x - 1 $. Então, substituímos na equação original:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação:
Essa é uma equação quadrática padrão da forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 5 $ e $ c = 6 $.
Passo 5
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, existem duas soluções reais:
Portanto:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se essas soluções satisfazem a condição inicial deste caso ($ x \geq 1 $):
Ambos os valores são menores que 1, então nenhuma das soluções desse caso é válida.
Passo 7
Caso 2: $ x < 1 $
Aqui, $ x - 1 $ é negativo, então o valor absoluto $ |x - 1| $ vira $ 1 - x $. Substituindo na equação:
Passo 8
Vamos simplificar essa equação:
Mais uma vez, temos uma equação quadrática. Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
Passo 9
Como $ \Delta < 0 $, não existem soluções reais para essa equação. Isso significa que não há valores de $ x $ que satisfaçam esta equação no segundo caso.
Resposta
Não existe nenhum número real que resolva a equação $ x^{2} + 5|x-1| + 11 = 0 $.