Resolva as seguintes edos, utilizando as substituições dadas.
x y^prime=e^-x y-y, com v=x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO x,y'=e^-x y-y usando a substituição v=x y. Isso cai em um tipo de EDO onde uma combinação v=x y torna a equação separável.

Passo 2

Como v=x y, temos
y=vx,
e sua derivada em relação a x é
y'=v',x-vx^2

Passo 3

Substituindo na EDO original:
x,y'=x,v' x-vx^2=e^-v-y=e^-v-vx
Simplificando o lado esquerdo e multiplicando por x:
v',x - v = x,e^-v - v
ou seja
v',x = x,e^-v

Passo 4

Isso leva a
dvdx=e^-v,
uma EDO separável. Separando e integrando:
e^v,dv = dx
integral e^v,dv = integral dx
e^v = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Tomando logaritmo:
v=ln(x+C)
Voltando para y= v/x, obtemos
y=ln(x+C)x

Resposta

y=tfracln(x+C)x

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