Encontre uma curva parametrizada alpha(t) cujo o traço é a elipse (x-1)^24+(y-2)^29=1 tal que alpha(t) percorre a elipse no sentido anti-horário com alpha(0)=(1,5).

Passo 1

A questão pede uma parametrização alpha(t) cuja imagem seja a elipse (x-1)^24+(y-2)^29=1, percorrida no sentido anti-horário e começando em (1,5). Vamos usar parametrização de elipse deslocada e ajustar a fase para o ponto inicial.

Passo 2

Para uma elipse de centro (h,k) e semi-eixos a,b, a forma padrão (sentido anti-horário) é

Passo 3

No nosso caso temos h=1, k=2, a=2, b=3. Assim
alpha(t) = (1 + 2cos t,;2 + 3sin t)
Mas isso dá alpha(0)=(3,2), e precisamos de (1,5). Logo precisamos de um desfasamento de fase.

Passo 4

Substituímos tmapsto t+varphi e impomos
alpha(0) = l(1 + 2cosvarphi,;2 + 3sinvarphir) = (1,5)
Daí cosvarphi=0, sinvarphi=1, logo varphi=tfracpi2. Fica
alpha(t)=l(1 + 2cos(t+tfracpi2),;2 + 3sin(t+tfracpi2)r),
que passa em (1,5) quando t=0 e ainda é anti-horário.

Passo 5

Usando as identidades trigonométricas
cos(t+tfracpi2)=-sin t e sin(t+tfracpi2)=cos t, chegamos à forma simplificada

Resposta

A curva parametrizada que satisfaz tudo isso é
alpha(t) = (1 - 2sin t,;2 + 3cos t), tinR,
que percorre a elipse no sentido anti-horário e tem alpha(0)=(1,5).

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