Resolva as seguintes edos.
y^(4)+3 y^prime prime prime=0

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a EDO homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
Conteúdo: método do polinômio característico para EDOs lineares. Vamos precisar usar o chute y=e^rx e montar a equação característica.

Passo 2

Propondo uma solução da forma y=e^rx, temos as derivadas:
y'=r e^rx,;y''=r^2e^rx,;y'''=r^3e^rx,;y^(4)=r^4e^rx.
Substituindo na EDO y^(4)+3y'''=0 resulta em fator comum e^rx (sempre não nulo) multiplicando a equação característica.

Passo 3

Equação característica:
r^4+3r^3=0
Fatorando, obtemos
r^3(r+3)=0
Logo as raízes são r=0 com multiplicidade 3 e r=-3 simples.

Passo 4

Para cada raiz real de multiplicidade m, a contribuição à solução geral é e^r x, x e^r x, … até x^m-1e^r x. Assim:
  • Para r=0, temos as soluções independentes: 1, x e x^2.
  • Para r=-3, temos e^-3x.
    Somando tudo, chegamos à solução geral da EDO.

Passo 5

Montando a solução geral com constantes arbitrárias C1,dots,C4:
cada modo independente ganha sua constante, ficando:

Resposta

A solução geral é y(x)=C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-3x.

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