Resolva as seguintes edos.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem a EDO homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
Conteúdo: método do polinômio característico para EDOs lineares. Vamos precisar usar o chute
e montar a equação característica.
Passo 2
Propondo uma solução da forma
, temos as derivadas:
.
Substituindo na EDO resulta em fator comum
(sempre não nulo) multiplicando a equação característica.
Substituindo na EDO
Passo 3
Equação característica:
Fatorando, obtemos
Logo as raízes são
com multiplicidade 3 e
simples.
Passo 4
Para cada raiz real de multiplicidade
, a contribuição à solução geral é
,
, … até
. Assim:
- Para
, temos as soluções independentes: 1, e . - Para
, temos .
Somando tudo, chegamos à solução geral da EDO.
Passo 5
Montando a solução geral com constantes arbitrárias
:
cada modo independente ganha sua constante, ficando:
Resposta
A solução geral é
.