Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
y^(3)+y^prime prime=3 e^x+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes y^(3) + y'' = 3e^x + 4x^2 usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo envolve encontrar a solução geral como soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular apropriada ao termo não-homogêneo.

Passo 2

Para achar a solução complementar, montamos a equação característica associada, que é r^3 + r^2 = 0. Fatorando, temos r^2(r + 1) = 0, logo as raízes são r = 0 (multiplicidade 2) e r = -1. Portanto
yc = C1 + C2 x + C3 e^-x

Passo 3

Agora buscamos a solução particular yp como soma de duas partes: uma para 3e^x e outra para 4x^2.

Passo 4

Para o termo 3e^x, fazemos o palpite yp1 = A e^x, pois r=1 não é raiz da característica. Calculando
y'p1=A e^x, y''p1=A e^x, y^(3)p1=A e^x,
e substituindo em y^(3)+y''=3e^x:
A e^x + A e^x = 2A e^x = 3e^x implies 2A = 3 implies A = tfrac32

Passo 5

Para o termo polinomial 4x^2, como r=0 é raiz de multiplicidade 2, multiplicamos o palpite usual por x^2. Assim
yp2 = a x^4 + b x^3 + c x^2

Passo 6

Calculamos as derivadas
y'p2 = 4a x^3 + 3b x^2 + 2c x,
y''p2 = 12a x^2 + 6b x + 2c,
y^(3)p2 = 24a x + 6b

Passo 7

Substituindo em y^(3)+y'' = 4x^2 obtemos
12a x^2 + (24a + 6b)x + (6b + 2c) = 4x^2 + 0x + 0

Passo 8

Igualando coeficientes:
  • 12a = 4 implies a = tfrac13
  • 24a + 6b = 0 implies 24(tfrac13) + 6b = 0 implies b = -tfrac43
  • 6b + 2c = 0 implies 6(-tfrac43) + 2c = 0 implies c = 4
    Logo
yp2 = tfrac13 x^4 - tfrac43 x^3 + 4x^2

Passo 9

Somando tudo, a solução geral é a combinação da parte complementar e das particulares.

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + tfrac32 e^x + tfrac13 x^4 - tfrac43 x^3 + 4x^2

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