Resolva as seguintes edos.
3 y^prime prime prime+5 y^prime prime+y^prime-y=0

Passo 1

Temos a EDO 3y''' + 5y'' + y' - y = 0, que é linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^rx. Substituindo na EDO e derivando, chegamos à equação característica
3r^3 + 5r^2 + r - 1 = 0

Passo 3

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são pm1 e pmtfrac13. Testando r = tfrac13 no polinômio, obtemos
3l(tfrac13r)^3 + 5l(tfrac13r)^2 + tfrac13 - 1 = 0,
logo r = tfrac13 é uma raiz.

Passo 4

Para encontrar as outras raízes, dividimos o polinômio original por r - tfrac13. Isso dá o quociente
3r^2 + 6r + 3 = 3(r+1)^2
Assim, a raiz r = -1 aparece com multiplicidade 2.

Passo 5

Como temos uma raiz simples r1 = tfrac13 e uma raiz dupla r2 = -1, a solução geral será a combinação de termos correspondentes a essas raízes: um termo exponencial simples para r1 e dois termos (um com x) para a raiz dupla.

Resposta

y(x) = C1 e^x3 + C2 e^-x + C3 x e^-x

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