Resolva as seguintes edos.
y^(4)+4 y^prime prime prime+y^prime prime-4 y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.
Precisamos montar a equação característica, achar suas raízes e montar a solução geral como combinação linear de exponenciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo y^(k) por r^k:

Passo 3

r^4 + 4r^3 + r^2 - 4r - 2 = 0

Passo 4

Para fatorar o polinômio de 4ª ordem, testamos uma fatoração do tipo

Passo 5

(r^2 + ar + b)(r^2 + cr + d) = 0
Buscando coeficientes que satisfaçam
a+c=4, ac+b+d=1, ad+bc=-4 e bd=-2,
encontramos a combinação

Passo 6

(r^2 - 1)(r^2 + 4r + 2) = 0

Passo 7

Agora resolvemos cada fator separadamente:
Para r^2 - 1 = 0 temos r = pm1.
Para r^2 + 4r + 2 = 0 usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 8

r = -4 pm raiz16 - 82 = -2 pm raiz2

Passo 9

As raízes são r1 = 1, r2 = -1, r3 = -2 + raiz2 e r4 = -2 - raiz2.
Cada raiz real gera a solução e^rx, então a solução geral é:

Passo 10

y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^(-2 + raiz2)x + C4 e^(-2 - raiz2)x

Resposta

y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^(-2 + raiz2)x + C4 e^(-2 - raiz2)x

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