Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui é EDO linear com coeficientes constantes. Precisamos (1) achar a solução geral da homogênea e (2) encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular escolhemos um palpite que cubra os termos de força: um termo constante (já que forçam 2) e um termo em
. Como
,
e
aparecem em
, multiplicamos por
. Então propomos
Passo 4
Agora calculamos as derivadas necessárias. Primeiro:
Passo 5
Somamos
e, após simplificar, obtemos
Esse resultado deve coincidir com
.
Passo 6
Igualando coeficientes:
Constante:
.
Coeficiente de
:
.
Coeficiente de
:
.
Passo 7
Com isso a parte particular é
A solução geral da EDO é
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}\cos(x)+C_{3}\sin(x)+2x+\tfrac{x}{2}\sin(x)