Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
y^(3)+y^prime=2-sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea
y^(3) + y' = 2 - sin(x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui é EDO linear com coeficientes constantes. Precisamos (1) achar a solução geral da homogênea e (2) encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
r^3 + r = 0 implies r(r^2 + 1) = 0 implies r = 0, ; r = i, ; r = -i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2cos(x) + C3sin(x)

Passo 3

Para a parte particular escolhemos um palpite que cubra os termos de força: um termo constante (já que forçam 2) e um termo em sin(x). Como 1, cos(x) e sin(x) aparecem em yh, multiplicamos por x. Então propomos
yp(x) = A x + xl(Dcos(x) + Esin(x)r)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas necessárias. Primeiro:
yp'(x) = A + Dcos(x) - D xsin(x) + Esin(x) + E xcos(x),
yp''(x) = 2Ecos(x) - 2Dsin(x) - E xsin(x) - D xcos(x),
yp'''(x) = -3Esin(x) -3Dcos(x) + xl(Dsin(x) - Ecos(x)r)

Passo 5

Somamos yp''' + yp' e, após simplificar, obtemos
yp''' + yp' = A - 2Dcos(x) - 2Esin(x)
Esse resultado deve coincidir com 2 - sin(x) = 2 + 0cdotcos(x) -1cdotsin(x).

Passo 6

Igualando coeficientes:
Constante: A = 2.
Coeficiente de cos(x): -2D = 0 implies D = 0.
Coeficiente de sin(x): -2E = -1 implies E = tfrac12.

Passo 7

Com isso a parte particular é
yp(x) = 2x + xcdottfrac12sin(x) = 2x + x2sin(x)
A solução geral da EDO é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2cos(x) + C3sin(x) + 2x + x2sin(x)

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}\cos(x)+C_{3}\sin(x)+2x+\tfrac{x}{2}\sin(x)

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