Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui envolve EDOs lineares com termos exponenciais, e vamos precisar achar a solução geral homogênea (via polinômio característico) e depois um particular ajustado ao termo
.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
O polinômio característico é
cujas raízes são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 2). Assim,
Passo 3
Para o particular, note que o termo não homogêneo é
. Como
corresponde à raiz
de multiplicidade 2, multiplicamos o polinômio tentativa por
. Proponho
onde
é um polinômio de grau 3 (formado a partir de
grau 1
multiplicado por
).
Passo 4
Usamos a fórmula geral de derivadas para
: se
, então
Em particular, ao calcular
obtém-se o polinômio
multiplicando
.
Passo 5
Derivando
temos
Logo
Queremos isso igual a
, então
Resolvendo,
e
.
Passo 6
Portanto o particular é
Somando com a homogênea, a solução geral é
Resposta
y=(C_1+C_2x)ex+(C_3+C_4x)e{-x}+\bigl(\tfrac1{24}x3-\tfrac18x2\bigr)e^x