Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
y^(4)-2 y^prime prime+y=x e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y^(4)-2y''+y=x e^x usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui envolve EDOs lineares com termos exponenciais, e vamos precisar achar a solução geral homogênea (via polinômio característico) e depois um particular ajustado ao termo x e^x.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz y^(4)-2y''+y=0 ext O polinômio característico é r^4-2r^2+1=(r^2-1)^2=0 ext, cujas raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-1 (multiplicidade 2). Assim,
yh=(C1+C2x)e^x+(C3+C4x)e^-x

Passo 3

Para o particular, note que o termo não homogêneo é x e^x. Como e^x corresponde à raiz r=1 de multiplicidade 2, multiplicamos o polinômio tentativa por x^2. Proponho
yp=(Ax^3+Bx^2)e^x
onde Ax^3+Bx^2 é um polinômio de grau 3 (formado a partir de xigl(grau 1 igr) multiplicado por x^2).

Passo 4

Usamos a fórmula geral de derivadas para yp=p(x)e^x: se p(x)=Ax^3+Bx^2, então
yp^(n)=igl(p^(n)+n p^(n-1)+binomn2p^(n-2)+dots+pr)e^x 
Em particular, ao calcular yp^(4)-2yp''+yp obtém-se o polinômio
p^(4)+4p'''+4p''
multiplicando e^x.

Passo 5

Derivando p(x)=Ax^3+Bx^2 temos
p''=6Ax+2B,
p'''=6A,
p^(4)=0
Logo
p^(4)+4p'''+4p''=0+4igl(6Aigr)+4igl(6Ax+2Bigr)=24A x+(24A+8B) 
Queremos isso igual a x, então
24A=1,
24A+8B=0
Resolvendo, A=1/24 e B=-1/8.

Passo 6

Portanto o particular é
yp=igl(tfrac124x^3-tfrac18x^2r)e^x 
Somando com a homogênea, a solução geral é
y=(C1+C2x)e^x+(C3+C4x)e^-x+igl(tfrac124x^3-tfrac18x^2r)e^x 

Resposta

y=(C_1+C_2x)ex+(C_3+C_4x)e{-x}+\bigl(\tfrac1{24}x3-\tfrac18x2\bigr)e^x

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