Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do primeiro grau: $ y’ + 2x,y = 4x $. A matéria que vamos usar aqui é a das EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar da técnica do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa EDO. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, $ P(x) = 2x $ e $ Q(x) = 4x $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que multiplicaremos toda a equação para facilitar a resolução. A fórmula para o fator integrante $ \mu(x) $ é:
Substituindo $ P(x) = 2x $:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e{x2} $:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x),y $:
Passo 5
Para resolver, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral do lado direito. Usamos a substituição $ u = x^2 $, então $ du = 2x,dx $ ou $ x,dx = \frac{du}{2} $:
Passo 7
Substituímos de volta na equação:
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ e{x2} $:
Resposta
A solução geral da EDO é: