Resolva as seguintes EDOs
y^prime+2 x y=4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do primeiro grau: $ y’ + 2x,y = 4x $. A matéria que vamos usar aqui é a das EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar da técnica do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa EDO. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + P(x),y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = 2x $ e $ Q(x) = 4x $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que multiplicaremos toda a equação para facilitar a resolução. A fórmula para o fator integrante $ \mu(x) $ é:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = 2x $:
mu(x) = e^integral P(x),dx

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e{x2} $:
mu(x) = e^x^2
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x),y $:
e^x^2,y' + 2x,e^x^2,y = 4x,e^x^2

Passo 5

Para resolver, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo simplifica para:
integral ddx( e^x^2,y ) dx = integral 4x,e^x^2 dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral do lado direito. Usamos a substituição $ u = x^2 $, então $ du = 2x,dx $ ou $ x,dx = \frac{du}{2} $:
u = x^2

Passo 7

Substituímos de volta na equação:
e^x^2,y = 2,e^x^2 + C
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ e{x2} $:
y

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = 2 + C,e^-x^2

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