Resolva as seguintes edos.
y^prime prime prime+y^prime prime-6 y^prime=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial ordinária linear homogênea de 3ª ordem com coeficientes constantes:
y''' + y'' - 6y' = 0
O conteúdo é EDOs de coeficientes constantes e vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo uma solução da forma y=e^rx:
r^3 + r^2 - 6r = 0
Em seguida fatoramos:
r(r^2 + r - 6) = 0
Do primeiro fator vem r=0. No segundo, usamos a fórmula de Bhaskara para
r^2 + r - 6 = 0
que dá
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
logo r=2 e r=-3.

Passo 3

Como as três raízes são reais e distintas ( 0,2,-3), a solução geral é a combinação linear das exponenciais associadas a cada raiz:
y(x) = C1 e^0,x + C2 e^2x + C3 e^-3x
E, como e^0,x=1, podemos simplificar a expressão.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-3x}

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