Suponha que
e
seja a
-ésima soma parcial da série. O que é
? O que é
?
Passo 1
O exercício afirma que
e que
é a soma parcial da série. O conteúdo envolvido é séries numéricas convergentes; vamos usar o conceito de soma de séries e propriedades de limites.
Passo 2
Quando dizemos que a série
converge, significa que a sequência de somas parciais
tem um limite finito. Uma condição necessária para essa convergência é que o termo geral
tenda a zero, pois se
não for nulo em limite, as parcelas não diminuiriam e a soma não poderia estabilizar.
Passo 3
Logo, pela condição necessária à convergência de séries, temos
.
Passo 4
Por definição de soma de série, a soma infinita
é exatamente
. Como
, concluímos que
.