Resolva as seguintes edos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
Conteúdo: equação característica de EDO lineares com coeficientes constantes. Precisamos usar a substituição
para achar as raízes da equação característica e então montar a solução geral.
Passo 2
Para obter a equação característica, fazemos a troca
, de modo que as derivadas viram potências de
. Assim, a equação
torna-se
Passo 3
Agora fatoramos o polinômio característico
No fator cúbico, agrupamos:
$$r^3 - r^2 - 4r + 4 = r^2(r-1) -4(r-1) = (r-1)(r^2 - 4) = (r-1)(r-2)(r+2).
$$
Logo as raízes são .
Logo as raízes são
Passo 4
Como todas as raízes
,
,
e
são reais e distintas, a solução geral é combinação linear de
.
Passo 5
Assim, a solução geral da EDO é
$$y(x) = C_1 e^{0,x} + C_2 e^{1,x} + C_3 e^{2,x} + C_4 e^{-2,x} = C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x} + C_4 e^{-2x}.
$$