Resolva as seguintes edos.
y^(4)-y^prime prime prime-4 y^prime prime+4 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
Conteúdo: equação característica de EDO lineares com coeficientes constantes. Precisamos usar a substituição y=e^rx para achar as raízes da equação característica e então montar a solução geral.

Passo 2

Para obter a equação característica, fazemos a troca y=e^rx, de modo que as derivadas viram potências de r. Assim, a equação
y^(4)-y'''-4y''+4y'=0
torna-se
r^4 - r^3 - 4r^2 + 4r = 0

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio característico
r^4 - r^3 - 4r^2 + 4r = rl(r^3 - r^2 - 4r + 4r)
No fator cúbico, agrupamos:
$$r^3 - r^2 - 4r + 4 = r^2(r-1) -4(r-1) = (r-1)(r^2 - 4) = (r-1)(r-2)(r+2).
$$
Logo as raízes são r^3 - r^2 - 4r + 4 = r^2(r-1) -4(r-1) = (r-1)(r^2 - 4) = (r-1)(r-2)(r+2) .

Passo 4

Como todas as raízes r1=0, r2=1, r3=2 e r4=-2 são reais e distintas, a solução geral é combinação linear de e^ri x.

Passo 5

Assim, a solução geral da EDO é
$$y(x) = C_1 e^{0,x} + C_2 e^{1,x} + C_3 e^{2,x} + C_4 e^{-2,x} = C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x} + C_4 e^{-2x}.
$$

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^2x + C4 e^-2x

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