Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\frac{d y}{d x}+2 x y+4 x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{d y}{d x} + 2 x\,y + 4 x = 0
O conteúdo é “equações diferenciais lineares de 1ª ordem” e vamos precisar identificar P(x) e Q(x), usar fator integrante e resolver a integral resultante.

Passo 2

Colocamos na forma padrão
\frac{d y}{d x} + P(x)\,y = Q(x)
aqui P(x)=2x e devemos passar o termo livre para o lado direito, ou seja
\frac{d y}{d x} + 2 x\,y = -4 x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\int 2x\,dx\bigr) = \exp\bigl(x^2\bigr).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x), ficando
\exp(x^2)\,\frac{d y}{d x} + 2x\,\exp(x^2)\,y = -4x\,\exp(x^2).
O lado esquerdo é a derivada do produto \frac{d}{dx}\bigl(y\,\exp(x^2)\bigr). Logo
\frac{d}{dx}\bigl(y\,\exp(x^2)\bigr) = -4x\,\exp(x^2).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,\exp(x^2) = \int -4x\,\exp(x^2)\,dx.
Como \frac{d}{dx}\exp(x^2)=2x\,\exp(x^2), temos
\int -4x\,\exp(x^2)\,dx = -2\int 2x\,\exp(x^2)\,dx = -2\,\exp(x^2) + C.
Portanto
y\,\exp(x^2) = -2\,\exp(x^2) + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = -2 + C\,\exp(-x^2),
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = -2 + C\,e^{-x^2}.

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