Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(x+x y^{2}\right) d x+\left(1+x^{2}\right)^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x + x\,y^{2}\bigr)\,dx + (1 + x^{2})^{3}\,dy = 0.
Isso é uma equação de primeira ordem que podemos tratar como
\frac{dy}{dx} = -\frac{x + x\,y^{2}}{(1 + x^{2})^{3}}.
O método apropriado aqui é reconhecer que a equação é separável em x e y.

Passo 2

Começamos escrevendo
\frac{dy}{dx} = -\frac{x\,(1 + y^{2})}{(1 + x^{2})^{3}}
e, em seguida, separamos as variáveis y e x:
\frac{dy}{1 + y^{2}} = -\frac{x}{(1 + x^{2})^{3}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{1 + y^{2}} = -\int \frac{x}{(1 + x^{2})^{3}}\,dx.

Passo 4

Calculemos cada integral separadamente.
Para o lado esquerdo, usamos
\int \frac{dy}{1 + y^{2}} = \arctan(y).
Para o lado direito, fazemos u = 1 + x^{2}, logo du = 2x\,dx, de modo que
\int \frac{x}{(1 + x^{2})^{3}}\,dx = \int \frac{1}{2}\,u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\,\bigl(-\tfrac{1}{2}u^{-2}\bigr) = -\frac{1}{4\,u^{2}} = -\frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}}.
Como havia um sinal negativo na separação, o lado direito fica
-\int \frac{x}{(1 + x^{2})^{3}}\,dx = +\frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}}.

Passo 5

Igualando as primitivas e acrescentando a constante C, obtemos
\arctan(y) = \frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}} + C.

Resposta

\arctan(y) = \frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}} + C,
que é a solução implícita geral da equação diferencial dada.

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