Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
Pat.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para encontrar sua solução geral. Trata-se de um caso de equação de Bernoulli em
, pois podemos escrever em forma de
.
Passo 2
Reescrevendo em termos de
, dividimos tudo por
e isolamos
:
Passo 3
Reconhecemos a forma de Bernoulli
com
Passo 4
Fazemos a substituição típica de Bernoulli:
Calculamos
Multiplicando a equação original por
e usando essa relação, obtemos a equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando por
vem
onde
é constante de integração. Assim
Passo 6
Voltando à substituição
, temos
ou, de forma explícita,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
com
constante de integração.