Resolva as seguintes equações:
22.
22.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
. Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, então a expressão está bem definida para todos os e , mas a manipulação que segue exige dividir por , logo devemos trabalhar em . - Não foram dadas condições iniciais, então vamos encontrar a família geral de soluções com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação em forma mais explícita, dividindo por
(lembrando que
):
Note que a segunda parcela tem dependência de
quando fatoramos
dentro da raiz. Isso sugere tentar a substituição homogênea usual
onde
. Vamos explicar: essa substituição é natural quando os termos da equação podem ser escritos em termos do quociente
(chamamos isso de equação homogênea de grau zero na variável
).
Passo 3
Calculamos
em função de
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando o lado esquerdo e o termo
que aparece dos dois lados:
Passo 4
Avaliação da raiz:
. Portanto
Como
, podemos dividir ambos os lados por
obtendo
Para fins de integração global (evitando tratar separadamente
e
), é conveniente observar que a integração abaixo conduz à forma implícita que é válida para
. Assim passamos a separar variáveis.
Passo 5
Separamos as variáveis:
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, vamos lembrar uma fórmula importante:
Passo 6
Fórmula usada: a primitiva de
é a função arco-hiperbólica
, ou explicitamente
Rápida verificação: derivando
obtemos
. Isso justifica o uso.
Passo 7
Integrando os dois lados:
A integral
é tratada de modo que, ao reunir a constante de integração, o resultado pode ser escrito de forma conveniente como
(a diferença entre os ramos é absorvida na constante). Assim obtemos a forma implícita
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Voltando à variável original: lembrando que
, escrevemos
Essa é uma forma implícita muito conveniente da solução. Podemos também escrever explicitamente
em função de
usando a função
(inversa de
):
portanto
Passo 9
Opcional: para quem gosta de ver a solução em termos de exponenciais, use
. Assim
o que, para
, reduz-se a
e para
dá o sinal oposto (mas tudo isso está contido na forma com
ou na forma implícita com
).