Resolva as seguintes equações:
22. x y^{\prime}=y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' = y + \sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde y'=dy/dx. Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve \sqrt{x^{2}+y^{2}}, então a expressão está bem definida para todos os x e y, mas a manipulação que segue exige dividir por x, logo devemos trabalhar em x\neq 0.
  • Não foram dadas condições iniciais, então vamos encontrar a família geral de soluções com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma mais explícita, dividindo por x (lembrando que x\neq 0):
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}.
Note que a segunda parcela tem dependência de y/x quando fatoramos x dentro da raiz. Isso sugere tentar a substituição homogênea usual
y = v x,
onde v=v(x). Vamos explicar: essa substituição é natural quando os termos da equação podem ser escritos em termos do quociente y/x (chamamos isso de equação homogênea de grau zero na variável y).

Passo 3

Calculamos y' em função de v:
y' = \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo y=vx e y' na equação original:
x\bigg(v + x\frac{dv}{dx}\bigg) = vx + \sqrt{x^{2} + v^{2}x^{2}}.
Simplificando o lado esquerdo e o termo vx que aparece dos dois lados:
x^{2}\frac{dv}{dx} = \sqrt{x^{2}(1+v^{2})}.

Passo 4

Avaliação da raiz: \sqrt{x^{2}(1+v^{2})} = |x|\sqrt{1+v^{2}}. Portanto
x^{2}\frac{dv}{dx} = |x|\sqrt{1+v^{2}}.
Como x\neq 0, podemos dividir ambos os lados por x^{2} obtendo
\frac{dv}{dx} = \frac{\sqrt{1+v^{2}}}{|x|}.
Para fins de integração global (evitando tratar separadamente x>0 e x<0), é conveniente observar que a integração abaixo conduz à forma implícita que é válida para x\neq 0. Assim passamos a separar variáveis.

Passo 5

Separamos as variáveis:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}} = \frac{dx}{|x|}.
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, vamos lembrar uma fórmula importante:

Passo 6

Fórmula usada: a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} é a função arco-hiperbólica \operatorname{arsinh}(v), ou explicitamente
\int \frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}} = \operatorname{arsinh}(v) = \ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big) + \text{const}.
Rápida verificação: derivando \operatorname{arsinh}(v) obtemos \dfrac{1}{\sqrt{1+v^{2}}}. Isso justifica o uso.

Passo 7

Integrando os dois lados:
\operatorname{arsinh}(v) = \int \frac{dx}{|x|} + C.
A integral \int \dfrac{dx}{|x|} é tratada de modo que, ao reunir a constante de integração, o resultado pode ser escrito de forma conveniente como \ln|x| (a diferença entre os ramos é absorvida na constante). Assim obtemos a forma implícita
\operatorname{arsinh}(v) = \ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Voltando à variável original: lembrando que v=\dfrac{y}{x}, escrevemos
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C.
Essa é uma forma implícita muito conveniente da solução. Podemos também escrever explicitamente y em função de x usando a função \operatorname{sinh} (inversa de \operatorname{arsinh}):
\frac{y}{x} = \operatorname{sinh}\!\big(\ln|x| + C\big),
portanto
y = x\,\operatorname{sinh}\!\big(\ln|x| + C\big).

Passo 9

Opcional: para quem gosta de ver a solução em termos de exponenciais, use \operatorname{sinh}(t)=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}. Assim
y = x\cdot\frac{e^{\ln|x|+C}-e^{-(\ln|x|+C)}}{2} = \frac{1}{2}\Big(e^{C}\,x|x| - e^{-C}\,\frac{x}{|x|}\Big),
o que, para x>0, reduz-se a
y = \frac{1}{2}\big(e^{C}x^{2} - e^{-C}\big),
e para x<0 dá o sinal oposto (mas tudo isso está contido na forma com \operatorname{sinh} ou na forma implícita com \operatorname{arsinh}).

Resposta

\displaystyle \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|x|+C\n \displaystyle y = x\,\operatorname{sinh}\!\big(\ln|x| + C\big)

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