Resolva as seguintes equações:
20. y^{\prime}=\frac{x+3 y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{x+3y}{x-y}.
Informações dadas e observações iniciais:
\;1. A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, escrita em termos de x e y(x).
\;2. Há restrição no enunciado original: o denominador (x-y) não pode ser zero, então devemos ter x\neq y onde a equação é escrita.
\;3. Para a técnica que vamos usar (substituição y=vx) precisamos também de x\neq 0 pois vamos dividir por x.
A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos tentar a substituição que é padrão para funções homogêneas: definir
y = v x,
onde v=v(x). Isso transforma a equação em outra em termos de v e x. Antes de aplicar, calculemos y' pela regra do produto:
y' = \frac{d}{dx}(v x) = v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui v depende de x, então usamos a derivada do produto. Esta substituição é útil quando o lado direito da equação pode ser escrito como função de \dfrac{y}{x} (o que ocorre neste caso).

Passo 3

Substituímos y=vx na expressão do lado direito:
\frac{x+3y}{x-y}=\frac{x+3(vx)}{x - (vx)}=\frac{1+3v}{1-v}.
Portanto a equação diferencial fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v}{1-v}.

Passo 4

Isolamos x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v}{1-v}-v.
Agora vamos simplificar o lado direito com álgebra de frações. Primeiro colocamos em comum denominador:
\frac{1+3v}{1-v}-v=\frac{1+3v - v(1-v)}{1-v}.
Desenvolvendo v(1-v)=v - v^2 temos
1+3v - (v - v^2)=1+3v - v + v^2 = 1 + 2v + v^2.
Logo
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+2v+v^2}{1-v}=\frac{(v+1)^2}{1-v}.

Passo 5

A equação agora é separável. Colocamos todos os termos em v de um lado e os termos em x do outro:
\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explicação rápida: dividimos ambos os lados por \dfrac{(v+1)^2}{1-v} e por x, obtendo essa forma que permite integração direta em cada variável.

Passo 6

Integramos ambos os lados. Primeiro tratamos a integral em v\). Vamos decompor \[\frac{1-v}{(v+1)^2}
em frações parciais do tipo \dfrac{A}{v+1}+\dfrac{B}{(v+1)^2}. Procuramos A,B tal que
\frac{1-v}{(v+1)^2}=\frac{A}{v+1}+\frac{B}{(v+1)^2}.
Multiplicando por (v+1)^2 obtemos
1-v = A(v+1)+B = Av + A + B.
Comparando coeficientes de v e termos constantes:
\begin{cases} \text{coeficiente de } v: & -1 = A \\\ \text{constante:} & 1 = A + B \end{cases}
Daí A=-1\] e \(B=2. Assim
\frac{1-v}{(v+1)^2} = -\frac{1}{v+1} + \frac{2}{(v+1)^2}.
Integramos termo a termo:
\int\left(-\frac{1}{v+1} + \frac{2}{(v+1)^2}\right)dv = -\ln|v+1| - \frac{2}{v+1} + C_1.
Do lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2.
Juntando as constantes (colocando tudo num único C) obtemos a igualdade:
-\ln|v+1| - \frac{2}{v+1} = \ln|x| + C.

Passo 7

Manipulamos a expressão para uma forma mais elegante. Multiplicando por -1 e recolocando constantes:
\ln|v+1| + \frac{2}{v+1} = -\ln|x| + C_1.
Somando \ln|x| aos dois lados:
\ln|x| + \ln|v+1| + \frac{2}{v+1} = C_1.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln|x|+\ln|v+1|=\ln|x(v+1)|, temos
\ln|x(v+1)| + \frac{2}{v+1} = C.

Passo 8

Voltamos à variável original y. Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, temos
v+1=\frac{y}{x}+1=\frac{y+x}{x},
portanto
x(v+1)=x\cdot\frac{y+x}{x}=x+y.
Além disso
\frac{2}{v+1}=\frac{2}{(y+x)/x}=\frac{2x}{x+y}.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior obtemos a solução implícita geral:
\ln|x+y| + \frac{2x}{x+y} = C,
onde C é constante arbitrária. Lembre-se das restrições de domínio usadas: x\neq 0 durante a substituição e x\neq y para que o lado direito original não tenha divisão por zero.

Passo 9

Procuremos possíveis soluções singulares que a substituição possa ter ocultado. Ao dividir por (v+1) durante o processo, perdemos a possibilidade v=-1, i.e. y=-x. Verificamos diretamente na equação original:
se y=-x então y'=-1. Substituindo no lado direito da equação original:
\frac{x+3y}{x-y}=\frac{x+3(-x)}{x-(-x)}=\frac{-2x}{2x}=-1,
que coincide com y'=-1. Logo y=-x é de fato uma solução particular (solução singular) que não aparece na forma implícita porque corresponde a v+1=0.

Resposta

\ln|x+y|+\dfrac{2x}{x+y}=C
\;y=-x

Exercícios relacionados