Resolva as seguintes equações:
20.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas e observações iniciais:
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, escrita em termos de
e
.
Há restrição no enunciado original: o denominador
não pode ser zero, então devemos ter
onde a equação é escrita.
Para a técnica que vamos usar (substituição
) precisamos também de
pois vamos dividir por
.
A resolução começa agora.
A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos tentar a substituição que é padrão para funções homogêneas: definir
onde
. Isso transforma a equação em outra em termos de
e
. Antes de aplicar, calculemos
pela regra do produto:
Aqui
depende de
, então usamos a derivada do produto. Esta substituição é útil quando o lado direito da equação pode ser escrito como função de
(o que ocorre neste caso).
Passo 3
Substituímos
na expressão do lado direito:
Portanto a equação diferencial fica
Passo 4
Isolamos
:
Agora vamos simplificar o lado direito com álgebra de frações. Primeiro colocamos em comum denominador:
Desenvolvendo
temos
Logo
Passo 5
A equação agora é separável. Colocamos todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Explicação rápida: dividimos ambos os lados por
e por
, obtendo essa forma que permite integração direta em cada variável.
Passo 6
Integramos ambos os lados. Primeiro tratamos a integral em
em frações parciais do tipo
. Procuramos
tal que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Daí
. Assim
Integramos termo a termo:
Do lado direito,
Juntando as constantes (colocando tudo num único
) obtemos a igualdade:
Passo 7
Manipulamos a expressão para uma forma mais elegante. Multiplicando por
e recolocando constantes:
Somando
aos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos
Passo 8
Voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos
portanto
Além disso
Substituindo na expressão obtida no passo anterior obtemos a solução implícita geral:
onde
é constante arbitrária. Lembre-se das restrições de domínio usadas:
durante a substituição e
para que o lado direito original não tenha divisão por zero.
Passo 9
Procuremos possíveis soluções singulares que a substituição possa ter ocultado. Ao dividir por
durante o processo, perdemos a possibilidade
, i.e.
. Verificamos diretamente na equação original:
se então
. Substituindo no lado direito da equação original:
se
que coincide com
. Logo
é de fato uma solução particular (solução singular) que não aparece na forma implícita porque corresponde a
.