Resolva as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação envolvendo logaritmos e recíprocos:
Aqui vamos usar propriedades de logaritmo (domínio e igualdade de logaritmos) e a resolução de uma equação algébrica simples.
Passo 2
Determinar o domínio da equação. Precisamos que ambos os logaritmos existam e sejam não nulos:
– existe
.
– existe
.
– Nenhum denominador pode ser zero, então , e
.
Combinando, o domínio é
–
–
– Nenhum denominador pode ser zero, então
Combinando, o domínio é
Passo 3
Como temos recíprocos iguais e ambos denominadores são finitos e não nulos, segue que
Passo 4
A partir de
obtemos
Elevando ao quadrado (observando depois as soluções no domínio):
Resolvendo a quadrática:
logo as raízes são
e
.
Passo 5
Verificação no domínio:
– não satisfaz
, é rejeitado.
– satisfaz
e
. Além disso,
e
, ambos são não nulos. Portanto
é solução válida.
–
–
Resposta
A solução da equação é
.