Resolva as seguintes equações:
1log 2 x=1log 2 raizx+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo logaritmos e recíprocos:
1log2x ;=;1log2raizx+2
Aqui vamos usar propriedades de logaritmo (domínio e igualdade de logaritmos) e a resolução de uma equação algébrica simples.

Passo 2

Determinar o domínio da equação. Precisamos que ambos os logaritmos existam e sejam não nulos:
log2x existe Leftrightarrow x>0.
log2raizx+2 existe Leftrightarrow raizx+2>0 Leftrightarrow x+2>0 Leftrightarrow x>-2.
– Nenhum denominador pode ser zero, então log2xneq0 Rightarrow xneq1, e log2raizx+2neq0 Rightarrow raizx+2neq1 Rightarrow xneq-1.
Combinando, o domínio é
x>0, xneq1

Passo 3

Como temos recíprocos iguais e ambos denominadores são finitos e não nulos, segue que
log2x ;=;log2raizx+2

Passo 4

A partir de log2x = log2raizx+2 obtemos
x = raizx+2
Elevando ao quadrado (observando depois as soluções no domínio):
x^2 = x + 2 longrightarrow x^2-x-2=0
Resolvendo a quadrática:
x = 1 pm raiz1+82 = 1 pm 32,
logo as raízes são x=2 e x=-1.

Passo 5

Verificação no domínio:
x=-1 não satisfaz x>0, é rejeitado.
x=2 satisfaz x>0 e xneq1. Além disso,
log22=1 e log2raiz4=1, ambos são não nulos. Portanto x=2 é solução válida.

Resposta

A solução da equação é x=2.

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