Resolva as seguintes equações:
23. 2 x y^{\prime}-2 y-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x y'(x) - 2y(x) - \sqrt{x^{2}-y(x)^{2}} = 0
e pede resolver essa equação (achar as soluções gerais). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
  • Aparece a raiz \sqrt{x^{2}-y^{2}}, logo as soluções interessam apenas em regiões onde x^{2}-y^{2}\ge 0 (ou seja, |y|\le |x|).
  • Não há condição inicial; devemos encontrar a família geral de soluções.
  • Devemos considerar os possíveis sinais vindos da raiz quadrada (pois \sqrt{\cdot} é não negativa, mas ao substituir parametrizações aparecerá valor absoluto).

Passo 2

Vamos tentar uma substituição natural que simplifica \sqrt{x^{2}-y^{2}}. Uma boa ideia é escrever y como y=x\sin u(x) porque assim
x^{2}-y^{2}=x^{2}\bigl(1-\sin^{2}u\bigr)=x^{2}\cos^{2}u,
e a raiz fica proporcional a |\cos u|. Portanto tomamos a substituição
y(x)=x\sin u(x),
onde u(x) é uma nova função a determinar. Essa escolha é útil porque isola a parte trigonométrica dentro da raiz e simplifica termos parecidos com y e x.

Passo 3

Calculemos y' em termos de u e u'. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
y'= \frac{d}{dx}\bigl(x\sin u(x)\bigr)=\sin u + x\cos u\;u'.
Agora substituímos y e y' na equação original. Primeiro calculemos o termo 2x y' - 2y:
2x y' - 2y = 2x\bigl(\sin u + x\cos u\;u'\bigr) - 2x\sin u = 2x^{2}\cos u\;u'.
Observe que os termos 2x\sin u se cancelam.

Passo 4

Agora substituímos também a raiz. Como y=x\sin u, temos
\sqrt{x^{2}-y^{2}}=\sqrt{x^{2}\cos^{2}u}=|x\cos u|.
Substituindo tudo na equação original obtemos
2x^{2}\cos u\;u' - |x\cos u| = 0.
Podemos dividir ambos os lados por |x| (assumindo x\neq 0, caso x=0 trataremos depois) para simplificar:
2x\cos u\;u' - \operatorname{sgn}(x)\,|\cos u| = 0,
onde \operatorname{sgn}(x) é o sinal de x. Para ficar mais claro e concentrar a discussão, primeiro consideraremos a região onde x>0 (então \operatorname{sgn}(x)=1); a região x<0 é análoga trocando x por |x| e usando \ln|x| nas integrais. Assim, para x>0 temos
2x\cos u\;u' - |\cos u| = 0.

Passo 5

Agora tratamos os dois subcasos que aparecem por causa do valor absoluto |\cos u|.
Caso (i): \cos u(x) > 0 em um intervalo. Então |\cos u|=\cos u e a equação simplifica para
2x\cos u\;u' - \cos u = 0.
Se \cos u\neq 0 podemos dividir por \cos u e obter
2x u' - 1 = 0.
Essa é uma equação diferencial linear simples para u. Reescrevendo,
u' = \frac{1}{2x}.
Integramos em relação a x: a integral de 1/x é \ln|x|. Logo
u(x) = \frac{1}{2}\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Substituindo de volta y=x\sin u obtemos, para este ramo,
\boxed{\,y(x)=x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{2}\ln|x| + C\bigr),\quad (\text{com }\cos u>0\text{ na região considerada})\,.}ã
Note que essa fórmula é válida enquanto a solução realmente satisfaz \cos u>0; se \cos u mudar de sinal em algum ponto, tivemos que mudar de ramo (explicarei isso adiante).

Passo 6

Caso (ii): \cos u(x) < 0 em um intervalo. Então |\cos u|=-\cos u e a equação torna-se
2x\cos u\;u' + \cos u = 0.
Dividindo por \cos u (assumindo \cos u\neq 0) obtemos
2x u' + 1 = 0,
ou
u' = -\frac{1}{2x}.
Integrando,
u(x) = -\frac{1}{2}\ln|x| + C,
com constante C. Voltando a y:
\boxed{\,y(x)=x\sin\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln|x| + C\bigr),\quad (\text{com }\cos u<0\text{ na região considerada})\,.}ã

Passo 7

Devemos também verificar as possibilidades degeneradas: se em algum intervalo \cos u(x)=0. Nesse caso \cos u=0 implica \sin u=\pm 1 e portanto y=\pm x. Verifiquemos se y(x)=x e y(x)=-x são soluções da equação original:
  • Se y(x)=x então y'=1. Substituindo na equação original:
2x\cdot 1 - 2x - \sqrt{x^{2}-x^{2}} = 2x-2x-0=0,
logo y=x é solução.
  • Se y(x)=-x então y'=-1. Substituindo,
2x(-1) - 2(-x) - \sqrt{x^{2}-(-x)^{2}} = -2x + 2x - 0 = 0,
logo y=-x também é solução.
Portanto y=\pm x são soluções singulares (casos onde \cos u=0).

Passo 8

Discussão sobre domínio e união dos ramos: as soluções encontradas nas Passos 5 e 6 são as famílias gerais em cada ramo de sinal de \cos u. A solução completa do problema é obtida escolhendo um dos sinais (ou possivelmente fazer em trechos: uma solução contínua pode trocar de ramo num ponto onde \cos u=0, mas isso exige checar continuidade e diferenciabilidade naquele ponto). Sempre pedimos x\neq 0 quando usamos \ln|x| e também |y|\le |x| para que a raiz seja real.
Resumo prático: as soluções gerais são as duas famílias
y(x)=x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{2}\ln|x| + C\bigr)\quad\text{e}\quad y(x)=x\sin\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln|x| + C\bigr),
além das soluções singulares y(x)=x e y(x)=-x. Em muitas apresentações essas duas famílias podem ser escritas juntas indicando a possibilidade de escolher o sinal na frente de \tfrac{1}{2}\ln|x|.

Resposta

y(x)=x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{2}\ln|x| + C\bigr)
y(x)=x\sin\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln|x| + C\bigr)
y(x)=x
y(x)=-x

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