Resolva as seguintes equações:
23.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede resolver essa equação (achar as soluções gerais). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - Aparece a raiz
, logo as soluções interessam apenas em regiões onde (ou seja, ). - Não há condição inicial; devemos encontrar a família geral de soluções.
- Devemos considerar os possíveis sinais vindos da raiz quadrada (pois
é não negativa, mas ao substituir parametrizações aparecerá valor absoluto).
Passo 2
Vamos tentar uma substituição natural que simplifica
. Uma boa ideia é escrever
como
porque assim
e a raiz fica proporcional a
. Portanto tomamos a substituição
onde
é uma nova função a determinar. Essa escolha é útil porque isola a parte trigonométrica dentro da raiz e simplifica termos parecidos com
e
.
Passo 3
Calculemos
em termos de
e
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Agora substituímos
e
na equação original. Primeiro calculemos o termo
:
Observe que os termos
se cancelam.
Passo 4
Agora substituímos também a raiz. Como
, temos
Substituindo tudo na equação original obtemos
Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo
, caso
trataremos depois) para simplificar:
onde
é o sinal de
. Para ficar mais claro e concentrar a discussão, primeiro consideraremos a região onde
(então
); a região
é análoga trocando
por
e usando
nas integrais. Assim, para
temos
Passo 5
Agora tratamos os dois subcasos que aparecem por causa do valor absoluto
.
Caso (i):
em um intervalo. Então
e a equação simplifica para
Se
podemos dividir por
e obter
Essa é uma equação diferencial linear simples para
. Reescrevendo,
Integramos em relação a
: a integral de
é
. Logo
onde
é constante de integração. Substituindo de volta
obtemos, para este ramo,
Note que essa fórmula é válida enquanto a solução realmente satisfaz
; se
mudar de sinal em algum ponto, tivemos que mudar de ramo (explicarei isso adiante).
Passo 6
Caso (ii):
em um intervalo. Então
e a equação torna-se
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
ou
Integrando,
com constante
. Voltando a
:
Passo 7
Devemos também verificar as possibilidades degeneradas: se em algum intervalo
. Nesse caso
implica
e portanto
. Verifiquemos se
e
são soluções da equação original:
- Se
então . Substituindo na equação original:
logo
é solução.
- Se
então . Substituindo,
logo
também é solução.
Portanto
são soluções singulares (casos onde
).
Passo 8
Discussão sobre domínio e união dos ramos: as soluções encontradas nas Passos 5 e 6 são as famílias gerais em cada ramo de sinal de
. A solução completa do problema é obtida escolhendo um dos sinais (ou possivelmente fazer em trechos: uma solução contínua pode trocar de ramo num ponto onde
, mas isso exige checar continuidade e diferenciabilidade naquele ponto). Sempre pedimos
quando usamos
e também
para que a raiz seja real.
Resumo prático: as soluções gerais são as duas famílias
além das soluções singulares
e
. Em muitas apresentações essas duas famílias podem ser escritas juntas indicando a possibilidade de escolher o sinal na frente de
.