Resolva as seguintes equações aplicando o método que achar conveniente
x+\left(x y^{\prime}-y\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x+\bigl(xy'-y\bigr)\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=0,
onde y=y(x) é a função desconhecida e a derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}. O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita equivalente) e indicar as restrições naturais do domínio que surgem durante a resolução.

Passo 2

Observação que simplifica muito: o termo x y' - y aparece frequentemente quando trabalhamos com a derivada do quociente y/x. Vou mostrar isso passo a passo.
Defina a nova variável
u(x)=\frac{y(x)}{x}.
Quero expressar x y' - y em termos de u e u'. Como y=xu, pela regra do produto:
y' = u + x u'.
Multiplicando por x e subtraindo y obtemos
x y' - y = x\bigl(u + x u'\bigr) - x u = x^2 u'.
Esta é a razão pela qual a substituição u=y/x é natural aqui: ela reduz x y' - y a x^2 u', simplificando a equação.

Passo 3

Substituindo na equação original:
x + \bigl(x y' - y\bigr)\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=0
fica
x + x^2 u'\cos(u)=0.
Dividindo ambos os lados por x (aqui assumimos x\neq0, depois comentamos essa hipótese):
1 + x u'\cos(u)=0.
Reescrevendo u'=\dfrac{du}{dx} obtemos uma equação separável:
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x\cos(u)}.
Uma equação “separável” é aquela em que podemos colocar todos os termos em u junto com du num lado e todos os termos em x junto com dx no outro, exatamente o que faremos agora.

Passo 4

Separe as variáveis e integre:
\cos(u)\,du = -\frac{dx}{x}.
Integramos os dois lados:
\int \cos(u)\,du = -\int \frac{dx}{x}.
As primitivas são simples e bem conhecidas:
\sin(u) = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (constante arbitária real). Podemos reorganizar escrevendo
\sin(u) + \ln|x| = C.

Passo 5

Voltando à variável original usando u=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução implícita
\sin\!\left(\frac{y}{x}\right) + \ln|x| = C.
Esta é a forma implícita da solução geral. Se quiser uma forma explícita para y, isolamos y por
\frac{y}{x} = \arcsin\!\bigl(C-\ln|x|\bigr)
e portanto
y(x) = x\,\arcsin\!\bigl(C-\ln|x|\bigr),
lembrando que \arcsin exige -1 \le C-\ln|x| \le 1, o que impõe uma restrição na faixa de x para cada C.

Passo 6

Comentários sobre hipóteses e domínio (importantíssimo na prova):
  • Assumi x\neq0 ao dividir por x. A equação original, para x\neq0, leva a solução acima. O caso x=0 não fornece uma solução global (a variável independente não é constante), logo tratamos apenas x\neq0.
  • Ao separar dividi por \cos(u); por isso é necessário ter \cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\neq0 enquanto se manipula a equação. Note que se \cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=0 então \bigl(xy'-y\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=0 e a equação seria x=0, incompatível com x\neq0. Portanto não existem soluções (com x\neq0) que atinjam pontos onde \cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=0; as soluções válidas evitam esses valores, então a divisão é legítima em cada intervalo de solução.
  • Verificação rápida (bom hábito): derivando implicitamente \sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+\ln|x|=C temos
\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{x y' - y}{x^2} + \frac{1}{x}=0,
multiplicando por x^2 volta-se exatamente à equação original, confirmando a solução.

Resposta

\sin\!\left(\dfrac{y}{x}\right) + \ln|x| = C
ou, explicitamente,
\displaystyle y(x)=x\,\arcsin\!\bigl(C-\ln|x|\bigr), com -1 \le C-\ln|x| \le 1 e x\neq0.

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