Resolva as seguintes equações aplicando o método que achar conveniente
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
onde
é a função desconhecida e a derivada é
. O objetivo é encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita equivalente) e indicar as restrições naturais do domínio que surgem durante a resolução.
Passo 2
Observação que simplifica muito: o termo
aparece frequentemente quando trabalhamos com a derivada do quociente
. Vou mostrar isso passo a passo.
Defina a nova variável
Quero expressar
em termos de
e
. Como
, pela regra do produto:
Multiplicando por
e subtraindo
obtemos
Esta é a razão pela qual a substituição
é natural aqui: ela reduz
a
, simplificando a equação.
Passo 3
Substituindo na equação original:
fica
Dividindo ambos os lados por
(aqui assumimos
, depois comentamos essa hipótese):
Reescrevendo
obtemos uma equação separável:
Uma equação “separável” é aquela em que podemos colocar todos os termos em
junto com
num lado e todos os termos em
junto com
no outro, exatamente o que faremos agora.
Passo 4
Separe as variáveis e integre:
Integramos os dois lados:
As primitivas são simples e bem conhecidas:
onde
é a constante de integração (constante arbitária real). Podemos reorganizar escrevendo
Passo 5
Voltando à variável original usando
, obtemos a solução implícita
Esta é a forma implícita da solução geral. Se quiser uma forma explícita para
, isolamos
por
e portanto
lembrando que
exige
, o que impõe uma restrição na faixa de
para cada
.
Passo 6
Comentários sobre hipóteses e domínio (importantíssimo na prova):
- Assumi
ao dividir por . A equação original, para , leva a solução acima. O caso não fornece uma solução global (a variável independente não é constante), logo tratamos apenas . - Ao separar dividi por
; por isso é necessário ter enquanto se manipula a equação. Note que se então e a equação seria , incompatível com . Portanto não existem soluções (com ) que atinjam pontos onde ; as soluções válidas evitam esses valores, então a divisão é legítima em cada intervalo de solução. - Verificação rápida (bom hábito): derivando implicitamente
temos
multiplicando por
volta-se exatamente à equação original, confirmando a solução.
Resposta
ou, explicitamente,