Resolva as seguintes equações aplicando o método que achar conveniente
y=x\left(1+y^{\prime}\right)+\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y = x\bigl(1 + y'\bigr) + \bigl(y'\bigr)^2.
Informações e o que nos é pedido:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Aparece y', que é a derivada de y em relação a x: \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}.
  • Queremos encontrar todas as soluções y(x) (a solução geral, com constante(s) de integração) que satisfaçam essa igualdade para x em algum intervalo.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): é comum, quando a equação relaciona y, x e y' de forma não linear como aqui, introduzir a variável auxiliar
p(x):=y'(x).
Isso transforma a equação em uma relação algébrica entre y, x e p:
y = x(1+p)+p^2,
onde p depende de x. Vou utilizar essa substituição porque facilita a manipulação — trata-se de reescrever a equação em termos de p e depois obter uma equação para p(x).

Passo 3

Derivando a relação y = x(1+p)+p^2 em relação a x para obter uma equação para p. Lembre que p=p(x) e que a derivada de y é y'=p. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
  • A derivada de y é y'=p.
  • A derivada de x(1+p) é (1+p) + x p', porque \dfrac{d}{dx}[x]\cdot(1+p) + x\cdot\dfrac{d}{dx}(1+p).
  • A derivada de p^2 é 2p p'.
Portanto, diferenciando ambos os lados:
p = (1+p) + (x+2p)\,p',
onde p'=\dfrac{dp}{dx}.

Passo 4

Isolando p' na equação obtida:
p - (1+p) = (x+2p)\,p' \quad\Longrightarrow\quad -1 = (x+2p)\,p'.
Logo
p' = \frac{dp}{dx} = -\frac{1}{x+2p}.
Essa é uma equação diferencial para p(x). Ela não está imediatamente em forma linear em p, mas é conveniente inverter a derivada para obter uma equação linear para x vista como função de p.

Passo 5

Inverto a relação para obter uma equação para x em função de p. Tomando recíproco (e lembrando das regras de inversão de derivadas):
\frac{dx}{dp} = -(x+2p).
Agora vemos uma equação linear de primeira ordem para x como função de p: é da forma
\frac{dx}{dp} + x = -2p.
Aqui a variável independente é p e a dependente é x(p).

Passo 6

Resolver a equação linear \dfrac{dx}{dp} + x = -2p pelo fator integrante. O coeficiente de x é 1, então o fator integrante é
\mu(p)=e^{\int 1\,dp}=e^{p}.
Multiplicamos a equação por \mu(p):
e^{p}\frac{dx}{dp} + e^{p}x = -2p e^{p}.
O lado esquerdo é a derivada de x e^{p} em relação a p:
\frac{d}{dp}\bigl(x e^{p}\bigr) = -2p e^{p}.

Passo 7

Integramos em p:
x e^{p} = \int -2p e^{p}\,dp + C,
onde C é constante de integração. Calcule a integral por partes: seja u=-2p, dv=e^{p}dp então du=-2dp, v=e^{p}. Assim
\int -2p e^{p}\,dp = -2p e^{p} - \int(-2)e^{p}\,dp = -2p e^{p} + 2 e^{p} = e^{p}(-2p+2).
Portanto
x e^{p} = e^{p}(-2p+2) + C.
Dividindo por e^{p} (sempre positivo, sem problema):
x = -2p + 2 + C e^{-p}.

Passo 8

Voltando para y, usamos a relação y = x(1+p)+p^2 e substituímos x:
y = \bigl(-2p + 2 + C e^{-p}\bigr)(1+p) + p^2.
Agora multiplicamos e simplificamos passo a passo:
  • Primeiro (-2p+2)(1+p)= -2p^2 + 0\cdot p + 2 = -2p^2 + 2 (feito por desenvolvimento).
  • Somando p^2 resulta -p^2 + 2.
  • O termo com C é C e^{-p}(1+p).
Logo
y = -p^2 + 2 + C e^{-p}(1+p).

Passo 9

Portanto a solução geral fica apresentada em forma paramétrica (usando p como parâmetro, e C como constante de integração):
\boxed{\;x = -2p + 2 + C e^{-p},\qquad y = -p^2 + 2 + C e^{-p}(1+p)\;},
onde p representa y' (isto é, p=\dfrac{dy}{dx}) e C é uma constante arbitrária real. Para cada valor fixo de C, ao variar p obtemos uma curva solução.

Passo 10

Observações práticas para a prova e como obter formas explícitas:
  • Em geral é difícil (ou impossível em termos elementares) eliminar p para escrever y explicitamente como função de x para C\neq 0. A forma paramétrica acima é a forma usual e aceitável.
  • Existe uma solução explícita simples quando C=0. Tomando C=0 em x obtém-se x = -2p + 2, ou seja p = 1 - \dfrac{x}{2}. Substituindo em y com C=0:
y = -p^2 + 2 = -\Bigl(1-\frac{x}{2}\Bigr)^2 + 2 = x + 1 - \frac{x^2}{4}.
Essa curva é uma solução particular da equação original; pode ser verificada diretamente derivando e substituindo na equação (confere-se que a igualdade se mantém).

Passo 11

Sobre possibilidade de solução singular adicional: para equações do tipo y = x\varphi(p)+\psi(p) pode haver uma solução singular (envelope). O procedimento de verificação leva a exigir simultaneamente certas condições que, neste caso, não são satisfeitas (o termo que exigiria p=\varphi(p) falha porque daria uma contradição). Assim não surge uma solução singular extra fora da família paramétrica já encontrada; todas as soluções relevantes estão dadas pela família paramétrica com constante C, incluindo o caso particular C=0.

Resposta

x = -2p + 2 + C e^{-p}
y = -p^2 + 2 + C e^{-p}(1+p), com p=\dfrac{dy}{dx} e C constante real.

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