Resolva as seguintes equações aplicando o método que achar conveniente
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações e o que nos é pedido:
- A incógnita é a função
. - Aparece
, que é a derivada de em relação a : . - Queremos encontrar todas as soluções
(a solução geral, com constante(s) de integração) que satisfaçam essa igualdade para em algum intervalo.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): é comum, quando a equação relaciona
,
e
de forma não linear como aqui, introduzir a variável auxiliar
Isso transforma a equação em uma relação algébrica entre
,
e
:
onde
depende de
. Vou utilizar essa substituição porque facilita a manipulação — trata-se de reescrever a equação em termos de
e depois obter uma equação para
.
Passo 3
Derivando a relação
em relação a
para obter uma equação para
. Lembre que
e que a derivada de
é
. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
- A derivada de
é . - A derivada de
é , porque . - A derivada de
é .
Portanto, diferenciando ambos os lados:
onde
.
Passo 4
Isolando
na equação obtida:
Logo
Essa é uma equação diferencial para
. Ela não está imediatamente em forma linear em
, mas é conveniente inverter a derivada para obter uma equação linear para
vista como função de
.
Passo 5
Inverto a relação para obter uma equação para
em função de
. Tomando recíproco (e lembrando das regras de inversão de derivadas):
Agora vemos uma equação linear de primeira ordem para
como função de
: é da forma
Aqui a variável independente é
e a dependente é
.
Passo 6
Resolver a equação linear
pelo fator integrante. O coeficiente de
é
, então o fator integrante é
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
em relação a
:
Passo 7
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Calcule a integral por partes: seja
,
então
,
. Assim
Portanto
Dividindo por
(sempre positivo, sem problema):
Passo 8
Voltando para
, usamos a relação
e substituímos
:
Agora multiplicamos e simplificamos passo a passo:
- Primeiro
(feito por desenvolvimento). - Somando
resulta . - O termo com
é .
Logo
Passo 9
Portanto a solução geral fica apresentada em forma paramétrica (usando
como parâmetro, e
como constante de integração):
onde
representa
(isto é,
) e
é uma constante arbitrária real. Para cada valor fixo de
, ao variar
obtemos uma curva solução.
Passo 10
Observações práticas para a prova e como obter formas explícitas:
- Em geral é difícil (ou impossível em termos elementares) eliminar
para escrever explicitamente como função de para . A forma paramétrica acima é a forma usual e aceitável. - Existe uma solução explícita simples quando
. Tomando em obtém-se , ou seja . Substituindo em com :
Essa curva é uma solução particular da equação original; pode ser verificada diretamente derivando e substituindo na equação (confere-se que a igualdade se mantém).
Passo 11
Sobre possibilidade de solução singular adicional: para equações do tipo
pode haver uma solução singular (envelope). O procedimento de verificação leva a exigir simultaneamente certas condições que, neste caso, não são satisfeitas (o termo que exigiria
falha porque daria uma contradição). Assim não surge uma solução singular extra fora da família paramétrica já encontrada; todas as soluções relevantes estão dadas pela família paramétrica com constante
, incluindo o caso particular
.