Exercício 86. Use o teorema de Gauss para calcular
, onde
e
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e o plano
. Com
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
onde
e
é a superfície fechada do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. A superfície
está orientada positivamente (vetor normal apontando para fora do sólido). Informações relevantes: a região volumétrica
é o conjunto de pontos com
, ou seja, o sólido abaixo do plano
e acima do paraboloide
.
Passo 2
Escolhemos usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) porque ele transforma o cálculo do fluxo sobre a superfície fechada
numa integral tripla sobre o volume
interno, o que costuma simplificar bastante quando a divergência é simples e a região tem simetria. O enunciado não exige um método específico, e como
é a fronteira de um corpo sólido fechado, o Teorema de Gauss é apropriado.
O Teorema da Divergência diz:
onde
é a divergência do campo
e
é o volume limitado por
. Aqui,
é definido como a soma das derivadas parciais:
com
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. As componentes são
,
e
.
Calcule cada derivada parcial:
pois
é independente de
e
.
pois
não depende de
.
pois
é independente de
e
.
Somando:
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é
Como a região
é dada por
variando de
(paraboloide) até
(plano), é natural usar coordenadas cilíndricas
, com as relações
,
,
e o elemento de volume
. Em coordenadas cilíndricas a integranda
vira
.
Passo 5
Precisamos dos limites: a superfície de interseção entre
e
ocorre quando
, ou seja
. Logo
vai de
a
,
vai de
a
, e para cada
o
varia de
até
. Portanto a integral tripla é
Aqui coloquei
(a integranda) multiplicada pelo jacobiano
, logo o integrando efetivo é
.
Passo 6
Primeiro integramos em
:
pois
é constante em relação a
.
Então a integral reduz-se a
Passo 7
Agora integramos em
. Desenvolvendo:
Calcule as primitivas:
Logo
Simplificando:
Passo 8
Finalmente integramos em
(multiplicando pelo comprimento angular
):
Portanto o fluxo pedido é
.