Exercício 86. Use o teorema de Gauss para calcular \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(\cos (z)+ \left.x y^{2}, x e^{-z}, \operatorname{sen}(y)+x^{2} z\right) e S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=4. Com S orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo \iint_{S} (F\cdot n)\,ds onde F(x,y,z)=(\cos(z)+x y^{2},\; x e^{-z},\; \operatorname{sen}(y)+x^{2} z) e S é a superfície fechada do sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=4. A superfície S está orientada positivamente (vetor normal apontando para fora do sólido). Informações relevantes: a região volumétrica V é o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}\le z\le 4, ou seja, o sólido abaixo do plano z=4 e acima do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Escolhemos usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) porque ele transforma o cálculo do fluxo sobre a superfície fechada S numa integral tripla sobre o volume V interno, o que costuma simplificar bastante quando a divergência é simples e a região tem simetria. O enunciado não exige um método específico, e como S é a fronteira de um corpo sólido fechado, o Teorema de Gauss é apropriado.
O Teorema da Divergência diz:
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds = \iiint_{V} \nabla\cdot F \; dV,
onde \nabla\cdot F é a divergência do campo F e V é o volume limitado por S. Aqui, \nabla\cdot F é definido como a soma das derivadas parciais:
\displaystyle \nabla\cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},
com F=(F_1,F_2,F_3).

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. As componentes são F_1=\cos(z)+x y^{2}, F_2=x e^{-z} e F_3=\operatorname{sen}(y)+x^{2} z.
Calcule cada derivada parcial:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(z)+x y^{2}\big)=y^{2},
pois \cos(z) é independente de x e \partial (x y^{2})/\partial x = y^{2}.
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{-z}\big)=0,
pois x e^{-z} não depende de y.
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(\operatorname{sen}(y)+x^{2} z\big)=x^{2},
pois \operatorname{sen}(y) é independente de z e \partial (x^{2} z)/\partial z = x^{2}.
Somando:
\nabla\cdot F = y^{2}+0+x^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{S} (F\cdot n)\,ds = \iiint_{V} (x^{2}+y^{2})\, dV.
Como a região V é dada por r^{2}=x^{2}+y^{2} variando de r^{2} (paraboloide) até 4 (plano), é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), com as relações x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} e o elemento de volume dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Em coordenadas cilíndricas a integranda x^{2}+y^{2} vira r^{2}.

Passo 5

Precisamos dos limites: a superfície de interseção entre z=r^{2} e z=4 ocorre quando r^{2}=4, ou seja r=2. Logo r vai de 0 a 2, \theta vai de 0 a 2\pi, e para cada (r,\theta) o z varia de z=r^{2} até z=4. Portanto a integral tripla é
\iiint_{V} (x^{2}+y^{2})\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r^{2}\; (r\,dz\,dr\,d\theta).
Aqui coloquei r^{2} (a integranda) multiplicada pelo jacobiano r, logo o integrando efetivo é r^{3}.

Passo 6

Primeiro integramos em z:
\int_{r^{2}}^{4} r^{3}\, dz = r^{3}\big(4 - r^{2}\big),
pois r^{3} é constante em relação a z.
Então a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\big(4-r^{2}\big)\, dr\, d\theta.

Passo 7

Agora integramos em r. Desenvolvendo:
\int_{0}^{2} r^{3}\big(4-r^{2}\big)\, dr = \int_{0}^{2} \big(4r^{3} - r^{5}\big)\, dr.
Calcule as primitivas:
\int 4r^{3}\,dr = 4\cdot\frac{r^{4}}{4}=r^{4},\qquad \int r^{5}\,dr = \frac{r^{6}}{6}.
Logo
\int_{0}^{2} \big(4r^{3} - r^{5}\big)\, dr = \Big[r^{4} - \frac{r^{6}}{6}\Big]_{0}^{2} = 2^{4} - \frac{2^{6}}{6} = 16 - \frac{64}{6}.
Simplificando:
16 - \frac{64}{6} = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48-32}{3} = \frac{16}{3}.

Passo 8

Finalmente integramos em \theta (multiplicando pelo comprimento angular 2\pi):
\int_{0}^{2\pi} \frac{16}{3}\, d\theta = \frac{16}{3}\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3}.
Portanto o fluxo pedido é \dfrac{32\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{32\pi}{3}

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