Resolva as seguintes equações de Bernoulli
2 x y y^prime-y^2+x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
2xyy’ − y² + x = 0,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar y’ e depois usar a substituição v = y², transformando-a numa equação linear em v.

Passo 2

Começamos isolando y’. Da equação
2x y y’ − y² + x = 0
podemos escrever
2x y y’ = y² − x
e assim
y' = y^2 - x2xy = y2x - 12y

Passo 3

Para simplificar a parte não linear, usamos a substituição v = y². Como dv/dx = 2y·dy/dx, multiplicamos a expressão de y’ por 2y:
dvdx = 2y,y' = 2yl(y2x - 12yr) = y^2x - 1 = vx - 1

Passo 4

Agora temos uma equação linear de primeira ordem em v:
dvdx - 1xv = -1

Passo 5

Para resolver, encontramos o fator integrante μ(x) = exp(−∫(1/x)dx) = x^{−1}. Multiplicando ambos os lados por x^{−1}:
1xdvdx - 1x^2v = -1x Longrightarrow ddxl(vxr) = -1x

Passo 6

Integrando em relação a x:
vx = -integral 1xdx + C = -ln|x| + C

Passo 7

Voltando a v = y², obtemos
y^2 = xl(C - ln|x|r)

Passo 8

Assim, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = pm raizxl(C - ln|x|r),

Passo 9

onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=±\sqrt{x\bigl(C - \ln|x|\bigr)}

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