Resolva as seguintes equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado dá a equação de Bernoulli
2xyy’ − y² + x = 0,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar y’ e depois usar a substituição v = y², transformando-a numa equação linear em v.
2xyy’ − y² + x = 0,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar y’ e depois usar a substituição v = y², transformando-a numa equação linear em v.
Passo 2
Começamos isolando y’. Da equação
2x y y’ − y² + x = 0
podemos escrever
2x y y’ = y² − x
e assim
2x y y’ − y² + x = 0
podemos escrever
2x y y’ = y² − x
e assim
Passo 3
Para simplificar a parte não linear, usamos a substituição v = y². Como dv/dx = 2y·dy/dx, multiplicamos a expressão de y’ por 2y:
Passo 4
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em v:
Passo 5
Para resolver, encontramos o fator integrante μ(x) = exp(−∫(1/x)dx) = x^{−1}. Multiplicando ambos os lados por x^{−1}:
Passo 6
Integrando em relação a x:
Passo 7
Voltando a v = y², obtemos
Passo 8
Assim, a solução geral da equação diferencial é
Passo 9
onde C é a constante de integração.
Resposta
y(x)=±\sqrt{x\bigl(C - \ln|x|\bigr)}