Resolva as seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que envolve combinações! O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com combinações, que são usadas para calcular de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de itens sem se importar com a ordem. A fórmula básica para combinação é:
Vamos precisar usar essa fórmula para resolver a equação e encontrar o valor de $ p $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as combinações pela fórmula. Então, temos:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e resolver para $ p $.
Passo 3
Vamos simplificar a fração complexa. Quando dividimos duas frações, é igual a multiplicar a primeira pela inversa da segunda. Então:
Agora, vamos simplificar as fatorial que se repetem.
Passo 4
Observamos que:
Substituindo isso na equação, temos:
Agora, os termos $ (28 - 2p)! $ se cancelam:
Passo 5
Vamos reescrever $ 28! $ em relação a $ 24! $:
Substituindo na equação:
Os $ 24! $ também se cancelam:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com $ p $:
Aqui, expandimos $ (2p)! / (2p - 4)! $ como $ (2p) \times (2p - 1) \times (2p - 2) \times (2p - 3) $.
Passo 7
Vamos calcular o numerador do lado esquerdo:
E reescrever a equação:
Passo 8
Agora, cruzamos os produtos para simplificar a equação:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 9
Dividimos ambos os lados por 225 para simplificar:
Calculando a divisão:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar um valor de $ p $ que satisfaça a equação. Vamos testar alguns valores inteiros para $ p $:
- Se $ p = 4 $:
- Se $ p = 5 $:
- Se $ p = 6 $:
- Se $ p = 7 $:
Resposta
Portanto, o valor de $ p $ que resolve a equação é: