Resolva as seguintes equações:
C28,2 pC24,2 p-4=22511

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve combinações! O enunciado é:
C28,2pC24,2p-4 = 22511
Aqui, estamos trabalhando com combinações, que são usadas para calcular de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de itens sem se importar com a ordem. A fórmula básica para combinação é:
Cn,k = n!k!(n - k)!
Vamos precisar usar essa fórmula para resolver a equação e encontrar o valor de $ p $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as combinações pela fórmula. Então, temos:
28!(2p)! (28 - 2p)!24!(2p - 4)! (24 - (2p - 4))! = 22511
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e resolver para $ p $.

Passo 3

Vamos simplificar a fração complexa. Quando dividimos duas frações, é igual a multiplicar a primeira pela inversa da segunda. Então:
28!(2p)! (28 - 2p)! times (2p - 4)! (24 - (2p - 4))!24! = 22511
Agora, vamos simplificar as fatorial que se repetem.

Passo 4

Observamos que:
24 - (2p - 4) = 28 - 2p
Substituindo isso na equação, temos:
28!(2p)! (28 - 2p)! times (2p - 4)! (28 - 2p)!24! = 22511
Agora, os termos $ (28 - 2p)! $ se cancelam:
(28 - 2p)!

Passo 5

Vamos reescrever $ 28! $ em relação a $ 24! $:
28!
Substituindo na equação:
24!
Os $ 24! $ também se cancelam:
28! = 28 times 27 times 26 times 25 times 24!

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com $ p $:
p
Aqui, expandimos $ (2p)! / (2p - 4)! $ como $ (2p) \times (2p - 1) \times (2p - 2) \times (2p - 3) $.

Passo 7

Vamos calcular o numerador do lado esquerdo:
28 times 27 times 26 times 25 = 491400
E reescrever a equação:
491400(2p) times (2p - 1) times (2p - 2) times (2p - 3) = 22511

Passo 8

Agora, cruzamos os produtos para simplificar a equação:
491400 times 11 = 225 times (2p) times (2p - 1) times (2p - 2) times (2p - 3)
Calculando o lado esquerdo:
491400 times 11 = 5405400
Então:
5405400 = 225 times (2p) times (2p - 1) times (2p - 2) times (2p - 3)

Passo 9

Dividimos ambos os lados por 225 para simplificar:
5405400225 = (2p) times (2p - 1) times (2p - 2) times (2p - 3)
Calculando a divisão:
24024 = (2p) times (2p - 1) times (2p - 2) times (2p - 3)

Passo 10

Agora, precisamos encontrar um valor de $ p $ que satisfaça a equação. Vamos testar alguns valores inteiros para $ p $:
  • Se $ p = 4 $:
p
  • Se $ p = 5 $:
p
  • Se $ p = 6 $:
p = 4
  • Se $ p = 7 $:
(8) times (7) times (6) times (5) = 1680 (menor que 24024)

Resposta

Portanto, o valor de $ p $ que resolve a equação é:
p

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