Exercício 5.5 Calcule
, sendo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = e{x{2}} - y^{2} $ e precisamos calcular o gradiente dessa função, que é representado por $ \nabla f(x, y) $. O gradiente nos dá uma ideia da direção em que a função cresce mais rapidamente. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é $ f(x, y) = e{x{2}} - y^{2} $.
Derivando em relação a $ x $:
Como $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $, a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é 0. Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
A função é $ f(x, y) = e{x{2}} - y^{2} $.
Derivando em relação a $ y $:
Aqui, $ e{x{2}} $ é constante em relação a $ y $, então sua derivada é 0. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é:
Portanto:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O gradiente da função $ f(x, y) = e{x{2}} - y^{2} $ é: