Numa floricultura foram dispostas sessenta flores, sendo 10 crisântemos, 20 rosas, 15 tulipas e 15 girassóis. De quantas maneiras distintas podem ser confeccionados buquês contendo 10 tulipas, no máximo 6 crisântemos e 6 girassóis e ao menos 15 rosas, totalizando 37 flores.

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher um subconjunto de 37 flores dentre 10 crisântemos, 20 rosas, 15 tulipas e 15 girassóis, obedecendo: exatamente 10 tulipas, no máximo 6 crisântemos, no máximo 6 girassóis e pelo menos 15 rosas. O conteúdo é combinações sem repetição com restrições e vamos usar coeficientes binomiais para contar escolhas de flores distintas de cada espécie.

Passo 2

Definimos as variáveis: c = número de crisântemos (0≤c≤6), g = número de girassóis (0≤g≤6), t = número de tulipas (=10), r = número de rosas. Como o total deve ser 37, temos
c + g + t + r = 37,
e como t=10 segue
c + g + r = 27

Passo 3

Além disso a restrição “pelo menos 15 rosas” equivale a r≥15 e como só há 20 rosas, r≤20. Logo r = 27 - (c+g) fica entre 15 e 20, ou seja
15 ,<=, 27-(c+g) ,<=,20 Longrightarrow 7<= c+g <=12

Passo 4

Para cada par (c,g) com 0≤c≤6, 0≤g≤6 e 7≤c+g≤12, temos r=27-(c+g) roses, c crisântemos, g girassóis e t=10 tulipas. O número de maneiras de escolher essas flores distintas é
binom10ctimes binom15gtimes binom20rtimes binom1510,
pois escolhemos c de 10 crisântemos, g de 15 girassóis, r de 20 rosas e sempre 10 de 15 tulipas. Somando sobre todos os pares (c,g) válidos obtemos o resultado final. Assim o número total de buquês é dado por
binom1510sums=7^12sumc=max(0,,s-6)^min(6,,s)binom10cbinom15s-cbinom2027-s,

Passo 5

onde definimos s=c+g e então g=s-c e r=27-s.

Resposta

binom1510sums=7^12sumc=max(0,,s-6)^min(6,,s)binom10c,binom15s-c,binom2027-s

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