Numa floricultura foram dispostas sessenta flores, sendo 10 crisântemos, 20 rosas, 15 tulipas e 15 girassóis. De quantas maneiras distintas podem ser confeccionados buquês contendo 10 tulipas, no máximo 6 crisântemos e 6 girassóis e ao menos 15 rosas, totalizando 37 flores.
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de escolher um subconjunto de 37 flores dentre 10 crisântemos, 20 rosas, 15 tulipas e 15 girassóis, obedecendo: exatamente 10 tulipas, no máximo 6 crisântemos, no máximo 6 girassóis e pelo menos 15 rosas. O conteúdo é combinações sem repetição com restrições e vamos usar coeficientes binomiais para contar escolhas de flores distintas de cada espécie.
Passo 2
Definimos as variáveis: c = número de crisântemos (0≤c≤6), g = número de girassóis (0≤g≤6), t = número de tulipas (=10), r = número de rosas. Como o total deve ser 37, temos
e como t=10 segue
Passo 3
Além disso a restrição “pelo menos 15 rosas” equivale a r≥15 e como só há 20 rosas, r≤20. Logo r = 27 - (c+g) fica entre 15 e 20, ou seja
Passo 4
Para cada par (c,g) com 0≤c≤6, 0≤g≤6 e 7≤c+g≤12, temos r=27-(c+g) roses, c crisântemos, g girassóis e t=10 tulipas. O número de maneiras de escolher essas flores distintas é
pois escolhemos c de 10 crisântemos, g de 15 girassóis, r de 20 rosas e sempre 10 de 15 tulipas. Somando sobre todos os pares (c,g) válidos obtemos o resultado final. Assim o número total de buquês é dado por
Passo 5
onde definimos
e então
e
.