Exercício 5.5 Calcule
, sendo
Passo 1
Vamos resumir o exercício: precisamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) = x $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.
Passo 3
Matematicamente, o gradiente é representado da seguinte forma:
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais para a função dada $ f(x, y) = x $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Isso porque a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
Passo 5
Em seguida, a derivada parcial em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ y $, então a derivada é 0.
Resposta
Portanto, o gradiente de $ f(x, y) = x $ é: