Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{4}-7 x^{2}-8=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{4}-7x^{2}-8=0
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação (ou seja, resolver a equação, achar as raízes). As informações relevantes são: o polinômio em x de grau 4 e os coeficientes numéricos -7 e -8. Não há mais dados adicionais.

Passo 2

Observação e ideia: a equação envolve somente potências pares de x — aparecem x^{4} e x^{2}. Uma técnica padrão nesses casos é fazer uma substituição para transformar a equação em uma equação quadrática mais simples. Vamos definir a nova variável
y=x^{2}.
Com essa substituição, x^{4}=y^{2}. Então substituímos na equação original.

Passo 3

Substituindo \;y=x^{2}\; em
x^{4}-7x^{2}-8=0
obtemos a equação quadrática em y:
y^{2}-7y-8=0.

Passo 4

Para resolver a quadrática \;y^{2}-7y-8=0\; podemos usar a fórmula quadrática. Primeiro identifique os coeficientes a, b, c:
a=1,\qquad b=-7,\qquad c=-8.
A fórmula quadrática diz que as raízes y são
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui vamos calcular o discriminante \Delta = b^{2}-4ac.

Passo 5

Calcule o discriminante:
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81.
Como \Delta=81 é um quadrado perfeito, as raízes serão racionais.

Passo 6

Aplique a fórmula:
y=\frac{-(-7)\pm\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{7\pm 9}{2}.
Logo as duas soluções para y são
y_{1}=\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8,
y_{2}=\frac{7-9}{2}=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 7

Agora voltamos à variável original com y=x^{2}. Temos duas equações a resolver:
x^{2}=8
e
x^{2}=-1.

Passo 8

Resolver x^{2}=8: tomamos raiz quadrada dos dois lados. Lembre que sempre surgem as duas raízes \pm:
x=\pm\sqrt{8}.
Simplificando \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}, obtemos
x=\pm 2\sqrt{2}.
Essas são duas raízes reais.

Passo 9

Resolver x^{2}=-1: no conjunto dos reais não existe número cujo quadrado seja negativo. Portanto essas soluções pertencem ao conjunto dos números complexos. Definimos a unidade imaginária \mathrm{i} como \mathrm{i}^{2}=-1. Assim as soluções são
x=\pm\mathrm{i}.
Essas são duas raízes puramente imaginárias.

Passo 10

Concluindo, a equação de quarto grau tem quatro raízes (contando números complexos): duas reais \pm 2\sqrt{2} e duas complexas \pm \mathrm{i}. Parabéns — você transformou um polinômio de grau 4 numa quadrática padrão e resolveu tudo com calma!

Resposta

x=2\sqrt{2}
x=-2\sqrt{2}
x=\mathrm{i}
x=-\mathrm{i}

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