Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{4}-7 x^{2}-8=0
x^{4}-7 x^{2}-8=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação (ou seja, resolver a equação, achar as raízes). As informações relevantes são: o polinômio em
de grau 4 e os coeficientes numéricos
e
. Não há mais dados adicionais.
Passo 2
Observação e ideia: a equação envolve somente potências pares de
— aparecem
e
. Uma técnica padrão nesses casos é fazer uma substituição para transformar a equação em uma equação quadrática mais simples. Vamos definir a nova variável
Com essa substituição,
. Então substituímos na equação original.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos a equação quadrática em
:
Passo 4
Para resolver a quadrática
podemos usar a fórmula quadrática. Primeiro identifique os coeficientes
,
,
:
A fórmula quadrática diz que as raízes
são
Aqui vamos calcular o discriminante
.
Passo 5
Calcule o discriminante:
Como
é um quadrado perfeito, as raízes serão racionais.
Passo 6
Aplique a fórmula:
Logo as duas soluções para
são
Passo 7
Agora voltamos à variável original com
. Temos duas equações a resolver:
e
Passo 8
Resolver
: tomamos raiz quadrada dos dois lados. Lembre que sempre surgem as duas raízes
:
Simplificando
, obtemos
Essas são duas raízes reais.
Passo 9
Resolver
: no conjunto dos reais não existe número cujo quadrado seja negativo. Portanto essas soluções pertencem ao conjunto dos números complexos. Definimos a unidade imaginária
como
. Assim as soluções são
Essas são duas raízes puramente imaginárias.
Passo 10
Concluindo, a equação de quarto grau tem quatro raízes (contando números complexos): duas reais
e duas complexas
. Parabéns — você transformou um polinômio de grau 4 numa quadrática padrão e resolveu tudo com calma!