Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{3}+8=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}+8=0
e pede que a resolvamos (encontremos todas as soluções). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é um polinômio cúbico simples.
  • O termo constante é 8, que é 2^{3}.
    Não há mais informações extras; vamos a partir daqui.

Passo 2

Observação útil (fórmula algébrica): existe uma identidade de fatoração chamada soma de cubos. Ela vale para quaisquer números a e b:
a^{3}+b^{3}=(a+b)\,(a^{2}-ab+b^{2}).
Explicando essa fórmula: o produto do binômio (a+b) pela expressão quadrática (a^{2}-ab+b^{2}) expande exatamente para a^{3}+b^{3}. Esta fatoração é muito prática para equações do tipo x^{3}+c=0 quando c é um cubo perfeito.

Passo 3

Aplicamos a identidade com a=x e b=2 (porque 8=2^{3}). Assim
x^{3}+8 = x^{3}+2^{3} = (x+2)\,(x^{2}-2x+4).
Portanto a equação x^{3}+8=0 é equivalente ao produto
(x+2)\,(x^{2}-2x+4)=0.
Uma regra básica de álgebra: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Assim resolvemos cada fator separadamente.

Passo 4

Resolver o fator linear:
x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.
Essa é uma solução real óbvia e já a temos.

Passo 5

Agora resolvemos o fator quadrático
x^{2}-2x+4=0.
Para quadráticas usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação genérica
ax^{2}+bx+c=0
as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui, para nossa quadrática temos a=1, b=-2 e c=4. Vamos calcular o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot4 = 4-16 = -12.

Passo 6

Interpretação do discriminante: \Delta=-12<0, ou seja, não há raízes reais vindas dessa quadrática; teremos duas raízes complexas conjugadas. Lembrete rápido: i é a unidade imaginária definida por i^{2}=-1. Podemos escrever \sqrt{-12}=\sqrt{12}\,i. Simplificando \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}, logo
\sqrt{-12}=2i\sqrt{3}.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm 2i\sqrt{3}}{2\cdot1}=\frac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}.

Passo 7

Resumo das soluções obtidas:
  • Da fatoração linear veio x=-2.
  • Da solução da quadrática vieram x=1+i\sqrt{3} e x=1-i\sqrt{3}.
    Se quiser verificar rapidamente: a soma das raízes do polinômio x^{3}+8 (com sinal trocado pelo coeficiente de x^{2} que é zero) é 0. De fato (-2)+(1+i\sqrt{3})+(1-i\sqrt{3})=0, consistente.

Resposta

-2
1+i\sqrt{3}
1-i\sqrt{3}

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