Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{3}+8=0
x^{3}+8=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a resolvamos (encontremos todas as soluções). Informações relevantes fornecidas:
- A equação é um polinômio cúbico simples.
- O termo constante é
, que é .
Não há mais informações extras; vamos a partir daqui.
Passo 2
Observação útil (fórmula algébrica): existe uma identidade de fatoração chamada soma de cubos. Ela vale para quaisquer números
e
:
Explicando essa fórmula: o produto do binômio
pela expressão quadrática
expande exatamente para
. Esta fatoração é muito prática para equações do tipo
quando
é um cubo perfeito.
Passo 3
Aplicamos a identidade com
e
(porque
). Assim
Portanto a equação
é equivalente ao produto
Uma regra básica de álgebra: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Assim resolvemos cada fator separadamente.
Passo 4
Resolver o fator linear:
Essa é uma solução real óbvia e já a temos.
Passo 5
Agora resolvemos o fator quadrático
Para quadráticas usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação genérica
as raízes são dadas por
Aqui, para nossa quadrática temos
,
e
. Vamos calcular o discriminante
:
Passo 6
Interpretação do discriminante:
, ou seja, não há raízes reais vindas dessa quadrática; teremos duas raízes complexas conjugadas. Lembrete rápido:
é a unidade imaginária definida por
. Podemos escrever
. Simplificando
, logo
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Resumo das soluções obtidas:
- Da fatoração linear veio
. - Da solução da quadrática vieram
e .
Se quiser verificar rapidamente: a soma das raízes do polinômio(com sinal trocado pelo coeficiente de que é zero) é . De fato , consistente.