Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{4}-6 x^{2}-16=0
x^{4}-6 x^{2}-16=0
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação
no campo dos reais. Informação dada: é um polinômio em
de grau 4 com termos apenas em
,
e constante. A incógnita é
. Não vou resolver nada aqui, só deixei claro o que é pedido e o que o enunciado fornece.
Passo 2
Observação importante e técnica que facilita muito: a equação tem apenas potências pares de
(
e
). Isso sugere fazer uma substituição para transformar o polinômio de grau 4 numa equação quadrática, que é mais fácil de resolver. Defino
Aqui
representa o quadrado de
. Como estou procurando soluções reais, lembro que
para todo
real.
Passo 3
Substituo
na equação original. Como
, a equação fica
Agora o problema virou: resolver essa equação quadrática em
.
Passo 4
Vou resolver a quadrática por fatoração (método simples e rápido quando possível). Para fatorar uma quadrática do tipo
procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. No nosso caso queremos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, porque
Logo podemos escrever
Aplicando o princípio do produto nulo, obtemos as soluções para
:
Passo 5
Agora volto à variável original
usando
.
Para
:
Resolvo extraindo raiz quadrada; para equações
com
as soluções reais são
. Assim
Simplificando a raiz:
. Portanto deste caso vêm as soluções
Para
:
Mas, lembrando, para
real temos
; não existe número real cujo quadrado seja
. Portanto
não fornece soluções reais e é descartado quando trabalhamos no campo dos reais.
Passo 6
Resumo do raciocínio: reduzimos a equação quartica a uma quadrática por
, fatoramos a quadrática, encontramos
e
, e só
dá soluções reais ao substituir de volta. Assim as soluções reais da equação original são exatamente
. (Se fosse pedido no campo dos complexos, teríamos ainda
vindos de
; mas aqui trabalho em
.)