Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{4}-6 x^{2}-16=0

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação
x^{4}-6x^{2}-16=0
no campo dos reais. Informação dada: é um polinômio em x de grau 4 com termos apenas em x^{4}, x^{2} e constante. A incógnita é x. Não vou resolver nada aqui, só deixei claro o que é pedido e o que o enunciado fornece.

Passo 2

Observação importante e técnica que facilita muito: a equação tem apenas potências pares de x ( x^{4} e x^{2}). Isso sugere fazer uma substituição para transformar o polinômio de grau 4 numa equação quadrática, que é mais fácil de resolver. Defino
y = x^{2}.
Aqui y representa o quadrado de x. Como estou procurando soluções reais, lembro que \,y=x^{2}\ge 0 para todo x real.

Passo 3

Substituo y na equação original. Como x^{4}=(x^{2})^{2}=y^{2}, a equação fica
y^{2}-6y-16=0.
Agora o problema virou: resolver essa equação quadrática em y.

Passo 4

Vou resolver a quadrática por fatoração (método simples e rápido quando possível). Para fatorar uma quadrática do tipo y^{2}+py+q procuramos dois números cuja soma seja p e cujo produto seja q. No nosso caso queremos dois números cuja soma seja -6 e cujo produto seja -16. Esses números são -8 e 2, porque
-8+2=-6\quad\text{e}\quad (-8)\cdot 2=-16.
Logo podemos escrever
y^{2}-6y-16 = (y-8)(y+2).
Aplicando o princípio do produto nulo, obtemos as soluções para y:
y-8=0 \quad\Rightarrow\quad y=8,
y+2=0 \quad\Rightarrow\quad y=-2.

Passo 5

Agora volto à variável original x usando y=x^{2}.
Para y=8:
x^{2}=8.
Resolvo extraindo raiz quadrada; para equações x^{2}=a com a>0 as soluções reais são x=\pm\sqrt{a}. Assim
x=\pm\sqrt{8}.
Simplificando a raiz: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}. Portanto deste caso vêm as soluções
x=\pm 2\sqrt{2}.
Para y=-2:
x^{2}=-2.
Mas, lembrando, para x real temos x^{2}\ge 0; não existe número real cujo quadrado seja -2. Portanto x^{2}=-2 não fornece soluções reais e é descartado quando trabalhamos no campo dos reais.

Passo 6

Resumo do raciocínio: reduzimos a equação quartica a uma quadrática por y=x^{2}, fatoramos a quadrática, encontramos y=8 e y=-2, e só y=8 dá soluções reais ao substituir de volta. Assim as soluções reais da equação original são exatamente \pm 2\sqrt{2}. (Se fosse pedido no campo dos complexos, teríamos ainda x=\pm i\sqrt{2} vindos de y=-2; mas aqui trabalho em \mathbb{R}.)

Resposta

\;x=\pm 2\sqrt{2}

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