Resolva as seguintes equações no campo dos
-2 x^{4}+i \cdot x^{2}=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação
-2\,x^{4}+i\cdot x^{2}=0
e pede para encontrar todas as soluções x no campo (complexo). As informações relevantes são:
A incógnita é x.
A unidade imaginária é i com i^{2}=-1.
A equação é um polinómio em x de grau 4.
O que se pede: determinar todos os valores de x (complexos) que satisfazem a equação.
Passo 2
Para simplificar, faço a substituição
y = x^{2}.
Essa é uma técnica comum: como a equação envolve apenas potências pares de x (x^{4} e x^{2}), ao definir y=x^{2} transformamos o problema numa equação quadrática em y, mais fácil de resolver. Aqui y é uma nova variável que representa o quadrado de x.
Passo 3
Substituindo y na equação original obtemos
-2\,y^{2} + i\,y = 0.
Agora temos uma equação polinomial em y. Vou resolver essa equação usando fatoração.
Passo 4
Fatorando o lado esquerdo por y (propriedade do produto zero: se ab=0 então a=0 ou b=0):
y(-2\,y + i)=0.
Daí têm-se duas possibilidades:
\text{(i)}\quad y=0 \qquad\text{ou}\qquad \text{(ii)}\quad -2\,y + i = 0.
Passo 5
Resolvo cada caso em y.
Caso (i): y=0. Como y=x^{2}, isso implica
x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Note que x=0 é uma solução com multiplicidade 2, porque x^{2}=0 corresponde a duas raízes iguais de um polinómio de grau 4 após a substituição.
Caso (ii): -2\,y + i = 0. Isolando y,
y = \frac{i}{2}.
Portanto precisamos resolver
x^{2} = \frac{i}{2}.
Passo 6
Agora vou explicar como encontrar as raízes quadradas de um número complexo e aplicar aqui. Uma maneira limpa é usar a forma polar da complexa.
Se z é um número complexo, escrevemos z = r e^{i\theta} onde:
r = |z| é o módulo (distância ao zero),
\theta = \arg(z) é o argumento (ângulo).
As raízes quadradas de z são
\sqrt{r}\,e^{i(\theta/2 + k\pi)},\qquad k=0,1,
ou seja, duas raízes separadas por \pi no argumento (opostas no plano complexo).
Aplico isso a z=\dfrac{i}{2}.
Passo 7
Calculo o módulo e o argumento de z=\dfrac{i}{2}.
Módulo:
r = \left|\frac{i}{2}\right| = \frac{1}{2}.
Argumento:
\theta = \frac{\pi}{2} \quad\text{(porque \(i\) está no eixo imaginário positivo)}.áá
(Argumentos equivalentes são \theta = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi m, com m\in\mathbb{Z}, mas ao dividir por 2 só precisamos de considerar k=0,1 depois.)
Assim as raízes são, para k=0,1,
x = \sqrt{r}\,e^{i(\theta/2 + k\pi)} = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\,e^{i(\tfrac{\pi}{4} + k\pi)}.
Passo 8
Agora escrevo essas raízes na forma retangular (a+ib), que é muitas vezes mais prática na prova.
Primeira raiz (k=0):
x = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\,e^{i\pi/4} = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\right).
Como \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
x = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(1+i) = \dfrac{1}{2}(1+i) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}.
Lembre que x=0 aparece com multiplicidade 2, e as outras duas são as raízes de x^{2}=\dfrac{i}{2}, totalizando quatro raízes contadas com multiplicidade, compatível com o grau 4 do polinómio.