Resolva as seguintes equações no campo dos
x{8}+x{4}=0
x{8}+x{4}=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes do enunciado:
- Temos uma equação polinomial em
. - A incógnita aparece com potências
e . - Vou resolver a equação no conjunto dos números complexos
(o conjunto dos números reais será um caso particular das soluções complexas).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio. Note que em
podemos tirar fator comum
. Portanto:
Explicação breve do que fiz: quando duas parcelas têm um mesmo fator (aqui
), podemos escrevê-las como esse fator multiplicando a soma dos quocientes correspondentes.
Passo 3
Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim as soluções satisfazem um dos dois sistemas:
Agora vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 4
Resolver
. Isso é direto: elevar um número à quarta potência dá zero somente se o número for zero. Logo
Observação didática: a raiz
tem multiplicidade 4 (isso significa que o fator
se anula), mas como estudante para a prova normalmente basta indicar
como solução.
Passo 5
Resolver
. Reescrevendo,
Para resolver equações do tipo
no conjunto
usamos a forma trigonométrica (ou polar) dos complexos e o Teorema de De Moivre. Vou resumir a ideia:
- Qualquer número complexo
pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento (ângulo). - Se queremos as raízes
tais que , então as raízes são
Isto vem de aplicar De Moivre e permitir as possíveis adições de
ao argumento.
Passo 6
Aplicando ao nosso caso
:
- Escrevemos
na forma polar: . Note que o argumento pode ser , com . - Aqui
e . Pelo passo anterior, as quatro raízes são
Agora calculamos os ângulos para cada
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Portanto as raízes são
Passo 7
Converter cada raiz para forma cartesiana (aquela
) para ficar bem claro como escrevê-las na prova. Usamos
e valores conhecidos do círculo unitário:
-
, então
-
, , então
-
, , então
-
, , então
Passo 8
Juntando todas as soluções encontradas:
- Da equação
veio . - Da equação
vieram as quatro raízes complexas listadas no passo anterior.
Comentário final amigável: pronto! Temos todas as soluções no campo complexo; se você só precisa das soluções reais, a única é
. Força aí — você consegue decorar esse procedimento: fatorar, aplicar produto nulo, e para potências complexas usar a forma polar + De Moivre.