Resolva as seguintes equações no campo dos
x{8}+x{4}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{8}+x^{4}=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos uma equação polinomial em x.
  • A incógnita aparece com potências 4 e 8.
  • Vou resolver a equação no conjunto dos números complexos \mathbb{C} (o conjunto dos números reais \mathbb{R} será um caso particular das soluções complexas).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio. Note que em \,x^{8}+x^{4} podemos tirar fator comum x^{4}. Portanto:
x^{8}+x^{4}=x^{4}\bigl(x^{4}+1\bigr).
Explicação breve do que fiz: quando duas parcelas têm um mesmo fator (aqui x^{4}), podemos escrevê-las como esse fator multiplicando a soma dos quocientes correspondentes.

Passo 3

Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim as soluções satisfazem um dos dois sistemas:
x^{4}=0 \quad\text{ou}\quad x^{4}+1=0.
Agora vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 4

Resolver x^{4}=0. Isso é direto: elevar um número à quarta potência dá zero somente se o número for zero. Logo
x^{4}=0 \implies x=0.
Observação didática: a raiz x=0 tem multiplicidade 4 (isso significa que o fator x^{4} se anula), mas como estudante para a prova normalmente basta indicar x=0 como solução.

Passo 5

Resolver x^{4}+1=0. Reescrevendo,
x^{4}=-1.
Para resolver equações do tipo x^{n}=z no conjunto \mathbb{C} usamos a forma trigonométrica (ou polar) dos complexos e o Teorema de De Moivre. Vou resumir a ideia:
  • Qualquer número complexo z pode ser escrito como z=r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)=r e^{i\theta}, onde r\ge0 é o módulo e \theta é o argumento (ângulo).
  • Se queremos as raízes x tais que x^{n}=r e^{i\theta}, então as raízes são
x = r^{1/n} e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Isto vem de aplicar De Moivre e permitir as possíveis adições de 2\pi ao argumento.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso x^{4}=-1:
  • Escrevemos -1 na forma polar: -1=1\cdot e^{i\pi}. Note que o argumento pode ser \pi + 2\pi m, com m\in\mathbb{Z}.
  • Aqui r=1 e \theta=\pi. Pelo passo anterior, as quatro raízes são
x = 1^{1/4} e^{i(\pi+2\pi k)/4} = e^{i(\pi+2\pi k)/4},\qquad k=0,1,2,3.
Agora calculamos os ângulos para cada k:
  • Para k=0: (\pi+0)/4=\pi/4.
  • Para k=1: (\pi+2\pi)/4=3\pi/4.
  • Para k=2: (\pi+4\pi)/4=5\pi/4.
  • Para k=3: (\pi+6\pi)/4=7\pi/4.
Portanto as raízes são
e^{i\pi/4},\quad e^{i3\pi/4},\quad e^{i5\pi/4},\quad e^{i7\pi/4}.

Passo 7

Converter cada raiz para forma cartesiana (aquela a+bi) para ficar bem claro como escrevê-las na prova. Usamos e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta e valores conhecidos do círculo unitário:
  • \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então
e^{i\pi/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\frac{1+i}{\sqrt{2}}.
  • \cos(3\pi/4)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \sin(3\pi/4)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então
e^{i3\pi/4}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}}.
  • \cos(5\pi/4)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \sin(5\pi/4)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então
e^{i5\pi/4}=\frac{-1-i}{\sqrt{2}}.
  • \cos(7\pi/4)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \sin(7\pi/4)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então
e^{i7\pi/4}=\frac{1-i}{\sqrt{2}}.

Passo 8

Juntando todas as soluções encontradas:
  • Da equação x^{4}=0 veio x=0.
  • Da equação x^{4}=-1 vieram as quatro raízes complexas listadas no passo anterior.
Comentário final amigável: pronto! Temos todas as soluções no campo complexo; se você só precisa das soluções reais, a única é x=0. Força aí — você consegue decorar esse procedimento: fatorar, aplicar produto nulo, e para potências complexas usar a forma polar + De Moivre.

Resposta

x=0
x=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}
x=\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}
x=\dfrac{-1-i}{\sqrt{2}}
x=\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}

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