Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(x y^{2}-y\right) d x-d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x\,y^{2}-y\bigr)\,dx - dy = 0.
Reescrevendo em forma explícita de dy/dx, temos
\frac{dy}{dx} = x\,y^{2} - y.
Isso é uma equação de Bernoulli na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde P(x)=1, Q(x)=x e n=2.

Passo 2

Aplicamos a substituição padrão de Bernoulli
u = y^{1-n} = y^{-1}.
Diferenciando,
\frac{du}{dx} = -\,y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.
Como \tfrac{dy}{dx}=x\,y^{2}-y, substituímos e obtemos
\frac{du}{dx} = -\,y^{-2}\bigl(x\,y^{2}-y\bigr) = -\,x + y^{-1} = -\,x + u.
Logo a equação para u é
\frac{du}{dx} - u = -\,x.

Passo 3

Essa é uma equação linear de primeira ordem em u. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -1\,dx\Bigr) = e^{-x}.
Multiplicando a equação por e^{-x}, fica
e^{-x}\frac{du}{dx} - e^{-x}u = -\,x\,e^{-x},
isto é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}u\bigr) = -\,x\,e^{-x}.

Passo 4

Integramos em relação a x:
e^{-x}u = \int \bigl(-x e^{-x}\bigr)\,dx.
Fazendo integração por partes A=-x, dB=e^{-x}dx,
\int -x e^{-x}dx = e^{-x}(x+1) + C.
Portanto
e^{-x}u = e^{-x}(x+1) + C \quad\Longrightarrow\quad u = x+1 + C\,e^{x}.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que u = y^{-1}, temos
\frac{1}{y} = x + 1 + C\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\,x + 1 + C\,e^{x}\,},
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{\,x + 1 + C\,e^{x}\,},}
com C constante arbitrária.

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