Resolva as seguintes equações diferenciais:
2 x y d x-\left(3 x^{2}+y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial
2\,x\,y\,dx - \bigl(3\,x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy = 0
que podemos passar para a forma de equação de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{2\,x\,y}{3\,x^{2}+y^{2}}.
Percebemos que o membro à direita é uma função homogênea de grau zero em x e y. Logo, vamos usar a substituição homogênea y = v\,x.

Passo 2

Fazendo y = v\,x implica
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Também, ao substituir na fração do passo anterior, temos
\frac{2\,x\,y}{3\,x^{2}+y^{2}} = \frac{2\,x\,(v\,x)}{3\,x^{2} + (v\,x)^{2}} = \frac{2\,v\,x^{2}}{x^{2}(3+v^{2})} = \frac{2\,v}{3+v^{2}}.
Portanto a equação vira
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{2\,v}{3+v^{2}}.

Passo 3

Isolando o termo com dv/dx, obtemos
x\,\frac{dv}{dx} = \frac{2\,v}{3+v^{2}} - v = v\!\Bigl(\frac{2}{3+v^{2}} - 1\Bigr) = -\,\frac{v\,(1+v^{2})}{3+v^{2}}.
Agora separamos variáveis:
\frac{3+v^{2}}{v\,(1+v^{2})}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{3+v^{2}}{v\,(1+v^{2})} = \frac{3}{v} - \frac{2\,v}{1+v^{2}}.
Logo
\int \frac{3+v^{2}}{v\,(1+v^{2})}\,dv = 3\int \frac{dv}{v} \;-\;2\int \frac{v\,dv}{1+v^{2}} = 3\ln\bigl|v\bigr| - \ln\bigl(1+v^{2}\bigr).
No lado direito temos
\int -\frac{dx}{x} = -\ln\bigl|x\bigr|.

Passo 5

Igualando integrais e somando \ln|x| ao lado esquerdo, obtemos
3\ln\bigl|v\bigr| \;-\;\ln\bigl(1+v^{2}\bigr)\;+\;\ln\bigl|x\bigr| = C,
ou seja
\ln\!\biggl(\frac{x\,v^{3}}{1+v^{2}}\biggr) = C.
Exponenciando,
\frac{x\,v^{3}}{1+v^{2}} = C_{1}.
Voltando a v = y/x, temos
\frac{x\,(y/x)^{3}}{1+(y/x)^{2}} = \frac{y^{3}/x^{2}}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}} = \frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = C_{1}.

Resposta

\boxed{\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = C,}
que é a solução implícita geral da equação diferencial dada.

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