Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada total.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
para encontrar
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Então:
Passo 6
Agora, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Aqui,
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: