Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
d yd x+4 x y=8 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: d yd x + 4x y = 8x. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Aqui, P(x) = 4x e Q(x) = 8x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de P(x):
integral 4x , dx = 2x^2
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^2x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2x^2 cdot d yd x + e^2x^2 cdot 4x y = e^2x^2 cdot 8x
Isso simplifica para:
dd x ( y cdot e^2x^2 ) = 8x e^2x^2
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada total.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x para encontrar y cdot e^2x^2:
integral dd x ( y cdot e^2x^2 ) dx = integral 8x e^2x^2 dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente y cdot e^2x^2. Para o lado direito, fazemos uma substituição:
u = 2x^2 Rightarrow du = 4x dx Rightarrow du4 = x dx
Então:
integral 8x e^2x^2 dx = 8 cdot 14 integral e^u du = 2 e^u + C = 2 e^2x^2 + C

Passo 6

Agora, temos:
y cdot e^2x^2 = 2 e^2x^2 + C
Para isolar y, dividimos ambos os lados por e^2x^2:
y = 2 + C e^-2x^2
Aqui, C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2 + C e^-2x^2

Exercícios relacionados