Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas cdot e resol-va-as.
l (t^2+s^2) d t-2 s t d s doteq 0 s(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma equação diferencial é homogênea e depois resolvê-la. A equação dada é:
(t^2+s^2) dt - 2 s t ds = 0
E temos a condição inicial s(1) = 2. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais homogêneas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos s e t. Isso facilita a resolução porque a gente pode fazer uma substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos verificar se a equação é homogênea. Olhando para os termos:
  • (t^2 + s^2)dt tem grau 2 em t e s.
  • 2st ds também tem grau 2 (porque é s cdot t).
Como todos os termos estão no mesmo grau, a equação é homogênea. Agora podemos resolver usando a substituição v = st, onde s = v t.

Passo 4

Vamos fazer a substituição s = v t. Assim, derivando ambos os lados, temos:
ds = v dt + t dv
Vamos substituir s e ds na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação:
(t^2 + (v t)^2) dt - 2 (v t) t (v dt + t dv) = 0
Simplificando:
(t^2 + v^2 t^2) dt - 2 v t^2 (v dt + t dv) = 0
t^2(1 + v^2) dt - 2 v t^2 (v dt + t dv) = 0

Passo 6

Distribuindo os termos:
t^2(1 + v^2) dt - 2 v^2 t^2 dt - 2 v t^3 dv = 0
Agrupando os termos em dt e dv:
t^2(1 + v^2 - 2 v^2) dt - 2 v t^3 dv = 0
Simplificando:
t^2(1 - v^2) dt - 2 v t^3 dv = 0

Passo 7

Dividindo toda a equação por t^3 para facilitar:
1 - v^2t dt - 2 v dv = 0
Agora, organizando para separar as variáveis:
1 - v^2t dt = 2 v dv

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados:
Para o lado esquerdo:
integral 1 - v^2t dt = integral 1t dt - integral v^2t dt
Mas v é função de t, o que complica. Vamos reescrever a equação de uma forma que permita a separação completa das variáveis.
Na verdade, percebemos que isolamos errado. Vamos rearranjar:
dtt = 2 v1 - v^2 dv

Passo 9

Agora, a separação está correta. Vamos integrar ambos os lados:
integral dtt = integral 2 v1 - v^2 dv
Integrando:
ln|t| = -ln|1 - v^2| + C

Passo 10

Podemos simplificar a expressão:
ln t = -ln(1 - v^2) + C
Elevando ambos os lados como potência de e:
t = K1 - v^2
Onde K = e^C é uma constante.

Passo 11

Lembrando que v = st, substituímos de volta:
t = K1 - (st)^2
Multiplicando ambos os lados por 1 - s^2t^2:
t (1 - s^2t^2) = K
Simplificando:
t - s^2t = K
Multiplicando tudo por t:
t^2 - s^2 = K t

Passo 12

Aplicando a condição inicial s(1) = 2 para encontrar K:
Substituindo t = 1 e s = 2 na equação:
1^2 - 2^2 = K cdot 1
1 - 4 = K
K = -3

Passo 13

Substituindo K de volta na equação geral:
t^2 - s^2 = -3 t
Rearranjando para isolar s^2:
s^2 = t^2 + 3 t
Portanto,
s(t) = raizt^2 + 3 t

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
s(t) = raizt^2 + 3 t

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