Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas
resol-va-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma equação diferencial é homogênea e depois resolvê-la. A equação dada é:
E temos a condição inicial
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais homogêneas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
e
. Isso facilita a resolução porque a gente pode fazer uma substituição para simplificar.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é homogênea. Olhando para os termos:
-
tem grau 2 em e . -
também tem grau 2 (porque é ).
Como todos os termos estão no mesmo grau, a equação é homogênea. Agora podemos resolver usando a substituição
, onde
.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Assim, derivando ambos os lados, temos:
Vamos substituir
e
na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos em
e
:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo toda a equação por
para facilitar:
Agora, organizando para separar as variáveis:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados:
Para o lado esquerdo:
Mas
é função de
, o que complica. Vamos reescrever a equação de uma forma que permita a separação completa das variáveis.
Na verdade, percebemos que isolamos errado. Vamos rearranjar:
Passo 9
Agora, a separação está correta. Vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Passo 10
Podemos simplificar a expressão:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Onde
é uma constante.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Multiplicando tudo por
:
Passo 12
Aplicando a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
e
na equação:
Passo 13
Substituindo
de volta na equação geral:
Rearranjando para isolar
:
Portanto,
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: