Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
e pede para reconhecer que, ao reescrever em termos de
, obtemos uma equação de Bernoulli no formato
com
. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.
Passo 2
Passamos para a forma explícita dividindo por
:
Ou seja,
que é uma equação de Bernoulli com
,
e
.
Passo 3
Para linearizar, dividimos a equação por
:
Observamos que
Logo
, e a equação fica
Passo 4
Multiplicando por
obtemos a equação linear em
, mas aqui
:
Chamando
, temos
Passo 5
O fator integrante é
Multiplicando a equação em
por
:
Integrando ambos os lados em
:
Passo 6
Voltando a
, a solução geral fica
com constante arbitrária
. Essa é a forma implícita da família de soluções.