Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli:
y d x+(x-12 x^3 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
y,dx+l(x-tfrac12x^3yr),dy=0
e pede para reconhecer que, ao reescrever em termos de x(y), obtemos uma equação de Bernoulli no formato
dxdy+P(y),x=Q(y),x^n,
com n=3. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 2

Passamos para a forma explícita dividindo por dy:
dxdy=-x-tfrac12x^3yy=-xy+tfrac12x^3
Ou seja,
dxdy+1y,x=12,x^3,
que é uma equação de Bernoulli com P(y)=1/y, Q(y)=1/2 e n=3.

Passo 3

Para linearizar, dividimos a equação por x^3:
x^-3dxdy+ 1y,x^-2=12
Observamos que
ddyl(x^-2r)=-2,x^-3dxdy
Logo x^-3dxdy= -tfrac12ddy(x^-2), e a equação fica
-tfrac12ddy(x^-2)+1y,x^-2=12

Passo 4

Multiplicando por -2 obtemos a equação linear em u=ymapsto u(x), mas aqui u(x)=x^-2:
ddy(x^-2)-2y,x^-2=-1
Chamando u=x^-2, temos
dudy-2y,u=-1

Passo 5

O fator integrante é
mu(y)=expl(-!integral2ydyr)=y^-2
Multiplicando a equação em u por mu:
y^-2dudy-2y^-3u=-y^-2 Longrightarrow ddyl(u,y^-2r)=-y^-2
Integrando ambos os lados em y:
u,y^-2=integral -y^-2dy = y^-1+C Longrightarrow u=y+Cy^2

Passo 6

Voltando a u=x^-2, a solução geral fica
x^-2=y+Cy^2,
com constante arbitrária C. Essa é a forma implícita da família de soluções.

Resposta

boxed1x^2=y+Cy^2

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