Seja f a função definida por
f(x)=x^2+3 x+2x
A função f possui assíntotas (horizontais, verticais e oblíqua)? Quais são? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=x^2+3x+2x
e pede as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas. Para isso vamos usar:
– Domínio de f e zeros do denominador para achar assíntotas verticais.
– Grau do numerador e do denominador para decidir se há assíntote horizontal ( degnum<=degden) ou oblíqua ( degnum=degden+1).
– Divisão de polinômios para obter a forma f(x)=parte linear + resto/x e extrair a reta oblíqua.

Passo 2

Determinamos o domínio de . Como o denominador não pode ser zero,
O único ponto proibido é , indicando potencial assíntota vertical em .

Passo 3

Para confirmar que x=0 é assíntota vertical, calculamos
limxto0^+f(x) e limxto0^-f(x)
Como
f(x)=x^2+3x+2x =x+3+2x,
quando xto0^+ temos tfrac2xto+infty e quando xto0^- temos tfrac2xto-infty. Logo
limxto0^+f(x)=+infty, limxto0^-f(x)=-infty,
confirmando a assíntota vertical
x=0

Passo 4

Como o grau do numerador ( 2) é exatamente um maior que o do denominador ( 1), existe assíntota oblíqua. Fazemos a divisão de polinômios:
x^2+3x+2x =x+3+2x
A parte linear y=x+3 é a reta candidata a assíntota oblíqua.

Passo 5

Verificamos que
limxtopminftyl[f(x)-(x+3)r] =limxtopminfty2x =0,
o que mostra que
y = x + 3
é de fato a assíntota oblíqua. Não há assíntota horizontal porque o desvio de f(x) da reta cresce como x.

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntota oblíqua: y=x+3
Assíntota horizontal: nenhuma.

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