Seja
a função definida por
A função
possui assíntotas (horizontais, verticais e oblíqua)? Quais são? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas. Para isso vamos usar:
– Domínio de e zeros do denominador para achar assíntotas verticais.
– Grau do numerador e do denominador para decidir se há assíntote horizontal ( ) ou oblíqua (
).
– Divisão de polinômios para obter a forma e extrair a reta oblíqua.
– Domínio de
– Grau do numerador e do denominador para decidir se há assíntote horizontal (
– Divisão de polinômios para obter a forma
Passo 2
Determinamos o domínio de
. Como o denominador não pode ser zero,
O único ponto proibido é
, indicando potencial assíntota vertical em
.
Passo 3
Para confirmar que
é assíntota vertical, calculamos
Como
quando
temos
e quando
temos
. Logo
confirmando a assíntota vertical
Passo 4
Como o grau do numerador (
) é exatamente um maior que o do denominador (
), existe assíntota oblíqua. Fazemos a divisão de polinômios:
A parte linear
é a reta candidata a assíntota oblíqua.
Passo 5
Verificamos que
o que mostra que
é de fato a assíntota oblíqua. Não há assíntota horizontal porque o desvio de
da reta cresce como
.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota oblíqua:
Assíntota horizontal: nenhuma.
Assíntota oblíqua:
Assíntota horizontal: nenhuma.